Tam giác BCD có :

BN = NC ( gt )

DP = PC ( gt )

\(\Rightarrow\)NP là đường trung bình tam giác BCD ( 1 )

Tam giác ADB có :

AQ = QD ( gt )

AM = MB ( gt )

\(\Rightarrow\)QM là đường trung bình tam giác ADB ( 2 )

Từ ( 1 ) , ( 2 ) suy ra NP = QM , NP // QM

\(\Rightarrow\)MNEF là hình bình hành ( đến đây bạn tự chứng minh tiếp hình thoi )

c) Để MNPQ là hình vuông thì ta chứng minh ABCD là hình thang cân có 2 đường chéo vuông góc với nhau 

xem tren mang

Xét \(\Delta\)ABC có: E, I là trung điểm AB, BC

\(\Rightarrow\) EI là đường trung bình tam giác ABC

\(\Rightarrow\) EI//AC, EI=1/2AC

Chứng minh tương tự: MK//AC, MK=1/2AC

\(\Rightarrow\) EI//MK, EI=MK

\(\Rightarrow\) tứ giác EIKM là hình bình hành (1)

ta có: EA=EB, \(\widehat{A}\)=\(\widehat{B}\), BI=MA(do AD=BC)

\(\Rightarrow\) \(\Delta\)AEM=\(\Delta\)BEI

\(\Rightarrow\) EM=EI(2)

Từ (1), (2)

\(\Rightarrow\) tứ giác EIKM là hình thoi

Để hình thoi EIKM là hình vuông thì EM\(\perp\)EI
\(\Rightarrow\) AC⊥BD
\(\Rightarrow\) hình thang ABCD có 2 đường chéo vuông góc với nhau
Vậy hình thang ABCD có đường chéo vuông góc với nhau thì EIKM là hình vuông.

#Shinobu Cừu

Mình không tìm thấy ảnh có điểm I,K,L,M nên làm theo điểm như bài này nhé bạn 

Xét tam giác ABC có:

\(\frac{CF}{BF}=\frac{CI}{CA}=\frac{1}{2}\)nên IF là đtb của tam giác ABC hay IF//AB//DC(1)

Xét tam giác BDC có

\(\frac{BK}{BD}=\frac{BF}{BC}=\frac{1}{2}\)nên KF là đtb của tam giác BDC hay KF//AB//DC(2)

Từ (1) và (2)  ta có : 

Theo tiên đề Ơ-clit thì qua điểm F chỉ có 1 đường thẳng song song với AB ( hoặc CD)

Nên KF và IF là 1 hay K,F,I thẳng hàng

Tương tự bạn chứng minh E,K,I thẳng hàng 

EK là đtb của tam giá ABD nên EK //AB

EI là đtb của tam giác ADC nên EI // AB//DC

Rồi suy ra K,F,I và E,K,I đều thẳng hàng với nhau hay E,K,F,I thẳng hàng ( I,K,L,M thẳng hàng)

Nếu ABKL  là hình chữ nhật thì 

\(AL=BK\Rightarrow\hept{\begin{cases}AL=\frac{1}{2}AC\\BK=\frac{1}{2}BD\end{cases}}\)

Nên AC = BD hay tứ giác ABCD có hai đường chéo bằng nhau