\(\frac{xy}{ay+bx}=\frac{yz}{bz+cy}=\frac{zx}{cx+az}=\frac{x^2+y^2+z^2}{a^2+b^2+c^2}\)

\(\Leftrightarrow\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=\frac{z}{c}+\frac{x}{a}\)

\(\hept{\begin{cases}\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=\frac{y}{b}+\frac{z}{c}\Rightarrow\frac{x}{a}=\frac{z}{c}\\\frac{z}{c}+\frac{x}{a}=\frac{y}{b}+\frac{z}{c}\Rightarrow\frac{x}{a}=\frac{y}{b}\\\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=\frac{z}{c}+\frac{x}{a}\Rightarrow\frac{y}{b}=\frac{z}{c}\end{cases}}\Rightarrow\frac{x}{a}=\frac{z}{c}=\frac{y}{b}.\text{đăt}k=\frac{x}{a}=\frac{z}{c}=\frac{y}{b}\Rightarrow x=ak,z=ck,y=bk\)

ta có: \(\frac{x^2+y^2+z^2}{a^2+b^2+c^2}=\frac{k^2.\left(x^2+y^2+z^2\right)}{\left(x^2+y^2+z^2\right)}=k^2\Rightarrow k^2=2k\Rightarrow k^2-2k=0\Rightarrow k.\left(k-2\right)=0\)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}k=0\\k=2\end{cases}\text{mà a,b,c và x,y,z khác 0. }\Rightarrow k=2\Rightarrow x=2a,y=2b,z=2c}\)

p/s: bài nì khó chơi vc =.=" sai sót bỏ qua ^^'

tại sao k^2 lại bằng 2k

Vì x, y, z khác 0

=> xy khác 0 ; yz khác 0  ;  zx khác 0

Theo bài ra ta thấy : đổi chỗ của tử số và mẫu số thì đẳng thức vẫn xảy ra nên ta có:

ay+bx/xy=bz+cy/yz=cx+az/zx=a^2+b^2+c^2/x^2+y^2+z^2                                        (3)

=>a/x    +    b/y   =    b/y     +    c/z    =       c/z     +    a/x

=>  a/x  =  b/y  =c/z

Đặt   a/x  =   b/y   =    c/z  =  k ta suy ra

x=ak; y=bk, z=ck

Ta có : 

ay+bx/xy =  a.bk+b.ak/ak.bk  =   2.abk/abk.k =  2/k                                       (1)

Lại có : a^2+b^2+c^2/x^2+y^2+z^2

          =  a^2+b^2+c^2/k^2 ( a^2 +b^2 +c^2 )

         =1/k^2                                                                                                    (2)

(1)(2)(3) => 2/k = 1/k^2

             =>k^2/k=1/2

             =>k=1/2

Với k=1/2  =>x=  1/2 .a ; y  = 1/2  b  ;  z= 1/2 .c

Vậy với mọi x, y, z thỏa mãn điều kiện trên thì mọi kết quả đều đúng.

Hãy bày tỏ cảm xúc và bài làm của mình nha.Trân thành cảm ơn.