Vì các số hạng trong tổng trên đều < 1

Nên => A<1

1.2!+2/3!+...đều là tổng các phân số có tử là 1.   1/2!=1/2  

2/3!=1/3; 3/4!=1/8 .... nên tổng A bé hơn 1

Ta có: \(A=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+....+\frac{1}{2016^2}< \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+....+\frac{1}{2015.2016}\)

                                                                               \(=1-\frac{1}{2016}=\frac{2015}{2016}\)

Mà \(A< \frac{2015}{2016}\)

Nên A không phải là 1 số tự nhiên

Ta có : \(\dfrac{1}{2^2}\)<\(\dfrac{1}{1.2}\); \(\dfrac{1}{3^2}\)<\(\dfrac{1}{2.3}\);.....;\(\dfrac{1}{2016^2}\)<\(\dfrac{1}{2015.2016}\)

⇒ A = \(\dfrac{1}{2^2}\)+\(\dfrac{1}{3^2}\)+...+\(\dfrac{1}{2016^2}\)< \(\dfrac{1}{1.2}\)+\(\dfrac{1}{2.3}\)+...+\(\dfrac{1}{2015.2016}\)

⇒ A = \(\dfrac{1}{2^2}\)+\(\dfrac{1}{3^2}\)+...+\(\dfrac{1}{2016^2}\) < 1 - \(\dfrac{1}{2016}\)= \(\dfrac{2015}{2016}\) (ĐCPCM)