Gọi d là ƯCLL_(2n+3,4n+8).

2n+3 \(⋮\)d \(\Rightarrow\)4n+9 \(⋮\)d

4n+8 \(⋮\)d

\(\Rightarrow\)(4n+9)-(4n+8) \(⋮\)d

\(\Rightarrow\)1 \(⋮\)d

Vì ƯCLL(2n+3,4n+8)= 1 nên 2n+3/4n+8 là phân số tối giản

tk mình nha

Goi d la UCLN(2n+3 , 4n+8)

\(\Rightarrow2n+3⋮d\)

\(4n+8⋮d\)

\(\Rightarrow2\left(2n+3\right)⋮d\)

\(4n+8⋮d\)

\(\Rightarrow4n+6⋮d\)

\(4n+8⋮d\)

\(\Rightarrow\left(4n+8\right)-\left(4n+6\right)⋮d\)

\(\Rightarrow2⋮d\)

\(\Rightarrow d\in U\left(1,2\right)\)

Ma \(2n+3\) la so le

\(\Rightarrow d=1\)

\(\Rightarrow\frac{2n+3}{4n+8}la\) p/s toi gian voi moi n \(\in\)N

Gọi UCLN(2n+3,4n+8) = d

Ta có: 2n+3 chia hết cho d => 2(2n+3) chia hết cho d => 4n+6 chia hết cho d

          4n+8 chia hết cho d 

=> (4n+6) - (4n+8) chia hết cho d

=> -2 chia hết cho d => d = {1;-1;2;-2}

Mà 2n+3 lẻ => d lẻ => d khác {2;-2} => d = {1;-1}

Vậy 2n+3/4n+8 tối giản

a) Gọi d là ƯC( 7n + 10 ; 5n + 7 ) 

=> \(\hept{\begin{cases}7n+10⋮d\\5n+7⋮d\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}5\left(7n+10\right)⋮d\\7\left(5n+7\right)⋮d\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}35n+50⋮d\\35n+49⋮d\end{cases}}\)

=> ( 35n + 50 ) - ( 35n + 49 ) chia hết cho d

=> 35n + 50 - 35n - 49 chia hết cho d

=> 1 chia hết cho d

=> d = 1

=> ƯCLN( 7n + 10 ; 5n + 7 ) = 1

=> 7n + 10 ; 5n + 7 là hai số nguyên tố cùng nhau ( đpcm )

b) Gọi d là ƯC( 2n + 3 ; 4n + 8 )

=> \(\hept{\begin{cases}2n+3⋮d\\4n+8⋮d\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}2\left(2n+3\right)⋮d\\4n+8⋮d\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}4n+6⋮d\\4n+8⋮d\end{cases}}\)

=> ( 4n + 8 ) - ( 4n + 6 ) chia hết cho d

=> 4n + 8 - 4n - 6 chia hết cho d

=> 2 chia hết cho d

=> d ∈ { 1 ; 2 }

Với d = 2 => \(2n+3⋮̸̸d\)

=> d = 1

=> ƯCLN( 2n + 3 ; 4n + 8 ) = 1

=> 2n + 3 ; 4n + 8 là hai số nguyên tố cùng nhau ( đpcm )

a) Ta có : \(\frac{n+1}{2n+3}\)tối giản <=> ƯCLN(n+1;2n+3) \(\in\){1; -1}

Gọi d là ƯCLN(n+1; 2n+3)

=> n + 1 \(⋮\)d        =>  2(n + 1) \(⋮\) d => 2n + 2  \(⋮\) d

     2n + 3 \(⋮\) d  

=> (2n + 3) - (2n + 2) = 1 \(⋮\)  d => d \(\in\){1; -1}

Vậy  \(\frac{n+1}{2n+3}\)tối giản

gọi UCLN(n+1,2n+3)=đ (d thuộc N*)

Ta có:{n+1 chia hết cho d=>2n+2 chia hết cho d

          { 2n+3 chia hết cho d

Xét[(2n+3)-(2n+2)] chia hết cho  d

=>1 chia hết cho d

=> d=1

=>UCLN(n+1,2n+3)=1

Vậy n+1/2n+3 là phân số tối giảm với mọi n

b,

gọi UCLN(2n+3,4n+8)=đ (d thuộc N*)

Ta có:{n+1 chia hết cho d=>2n+2 chia hết cho d

          { 2n+3 chia hết cho d

Xét[(2n+3)-(2n+2)] chia hết cho  d

=>1 chia hết cho d

=> d=1

=>UCLN(n+1,2n+3)=1

Vậy n+1/2n+3 là phân số tối giảm với mọi n

ý b mình ghi nhầm

để p/số trên tối giản thì ƯCLN  là 1,gọi số đó là d

n+1:d,2n+2:d

2n+3-2n-2:d

1:d

d=1

vậy p/số đó luôn tối giản

gọi ƯC(n+1;2n+3)=d

ta có n+1 chia hết cho d nên 2(n+1) chia hết cho d nên 2n+2 cũng chia hết cho d , mặt khác 2n+3 chia hết cho d

nên 2n+3-(2n+2) chia hết cho d nên 1 chia hết cho d vậy ƯC của n+1 và 2n+3 là 1 hoặc -1

do đó mọi fân số dạng n+1/2n+3 đều là phân số tối giản

bai nay kho qua

1. a là số tự nhiên chia 5 dư 1

=> a = 5k + 1 ( k thuộc N )

b là số tự nhiên chia 5 dư 4

=> b = 5k + 4 ( k thuộc N )

Ta có ( b - a )( b + a ) = b² - a²

                                   = ( 5k + 4 )² - ( 5k + 1 )²

                                   = 25k² + 40k + 16 - ( 25k² + 10k + 1 )

                                   = 25k² + 40k + 16 - 25k² - 10k - 1

                                   = 30k + 15

                                   = 15( 2k + 1 ) chia hết cho 5 ( đpcm )

2. 2n²( n + 1 ) - 2n( n² + n - 3 )

= 2n³ + 2n² - 2n³ - 2n² + 6n

= 6n chia hết cho 6 ∀ n ∈ Z ( đpcm )

3. n( 3 - 2n ) - ( n - 1 )( 1 + 4n ) - 1

= 3n - 2n² - ( 4n² - 3n - 1 ) - 1

= 3n - 2n² - 4n² + 3n + 1 - 1

= -6n² + 6n

= -6n( n - 1 ) chia hết cho 6 ∀ n ∈ Z ( đpcm )