Chứng minh trong 1 tam giác, đường phân giác trong và 2 đường phân giác ngoài cùng nằm trong một góc thì đồng quy.
Chứng minh định lý:" Hai đường phân giác ngoài và một đường phân giác trong xuất phát từ ba góc khác nhau của một tam giác thì đồng quy tại một điểm"
Gọi I là giao của ∠ABC và ∠ACB, gọi D, F, E lần lượt là hình chiếu của I trên
AC, AB, BC
Xét ∆FBI và ∆EBI:
∠FBI=∠IBE(gt)
BI chung
∠BFI=∠IEB=900(gt) =>∆FBI = ∆EBI(g-c-g)
Do đó IF=IE(cạnh tương ứng)
Xét ∆FAI và ∆DAI:
∠FAI=∠IAD(gt)
AI chung
∠AFI=∠IDA=900(gt) =>∆FAI = ∆DAI(g-c-g)
Do đó IF=ID(cạnh tương ứng)
IF=ID;IF=IE =>ID=IE
Xét ∆ECI và ∆DCI:
∠IEC=∠IDC=900(gt)
ID=IE(CMT)
CI chung => ∆ECI = ∆DCI (cạnh huyền -cạnh góc vuông)
Do đó : ∠ECI=∠ICD
=>IC là phân giác góc BCA
Vậy ba đường phân giác trong CI, AI, BI đồng quy tại một diểm
Chứng minh định lí: Hai đường phân giác ngoài và một đường phân giác trong xuất phát từ 3 góc khác nhau của tam giác thì đồng quy tại một điểm
chứng minh trong 1 tam giác,đường phân giác trong góc trong xuất phát từ mỗi đỉnh và hai đường phân giác ngoài xuất phát từ hai đỉnh kia đồng quy tại 1 điểm
Gọi I là giao của ∠ABC và ∠ACB, gọi D, F, E lần lượt là hình chiếu của I trên
AC, AB, BC
Xét ∆FBI và ∆EBI:
∠FBI=∠IBE(gt)
BI chung
∠BFI=∠IEB=900(gt) =>∆FBI = ∆EBI(g-c-g)
Do đó IF=IE(cạnh tương ứng)
Xét ∆FAI và ∆DAI:
∠FAI=∠IAD(gt)
AI chung
∠AFI=∠IDA=900(gt) =>∆FAI = ∆DAI(g-c-g)
Do đó IF=ID(cạnh tương ứng)
IF=ID;IF=IE =>ID=IE
Xét ∆ECI và ∆DCI:
∠IEC=∠IDC=900(gt)
ID=IE(CMT)
CI chung => ∆ECI = ∆DCI (cạnh huyền -cạnh góc vuông)
Do đó : ∠ECI=∠ICD
=>IC là phân giác góc BCA
Vậy ba đường phân giác trong CI, AI, BI đồng quy tại một diểm
Chứng minh rằng trong một tam giác hai đường phân giác 2 góc ngoài của tam giác và đường phân giác trong của đỉnh còn lại đồng quy.
(vẽ hình và ghi lời giải đầy đủ, ban nào làm xong sớm và đúng mình sẽ tick)
Chứng minh rằng trong một tam giác, tia phân giác của một góc trong và hai tia phân giác của hai góc ngoài không kề với nó đồng quy tại một điểm, điểm đó cách đều ba đường thẳng chứa ba cạnh của tam giác.
Giả sử hai tia phân giác của các góc ngoài tại đỉnh B và C của tam giác ABC cắt nhau tại O. Ta sẽ chứng minh AO là tia phân giác của góc A.
Kẻ các đường vuông góc OH, OI, OK từ O lần lượt đến các đường thẳng AB, BC, AC.
Vì BO là tia phân giác của góc HBC nên OH = OI (1)
Vì CO là tia phân giác của góc KCB nên OI = OK (2)
Từ (1) và (2) suy ra OI = OH = OK
(3)
Suy ra: O thuộc đường phân giác của góc BAC.
Suy ra AO là tia phân giác của góc BAC và ta có điều phải chứng minh.
Chứng minh rằng trong một tam giác, tia phân giác của một góc trong và hai tia phân giác của hai góc ngoài không kề với nó đồng quy tại một điểm, điểm đó cách đều ba đường thẳng chứa ba cạnh của tam giác ?
Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng hai đường phân giác của hai góc ngoài tại B và C và đường phân giác trong của góc A cùng đi qua một điểm.
Gọi K là giao điểm của hai tia phân giác của góc ngoài tại đỉnh B và góc ngoài tại đỉnh C.
Kẻ KE ⊥ BC, KF ⊥ AC, KD ⊥ AB
Vì K nằm trên phân giác của ∠(CBD) nên:
KD = KE (tính chất tia phân giác) (1)
Vì K nằm trên tia phân giác của ∠(BCF) nên:
KE = KF (tính chất tia phân giác) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: KD = KF
Điểm K nằm trong ∠(BAC) cách đều 2 cạnh AB và AC nên K nằm trên tia phân giác của ∠(BAC) .
CHO TAM GIÁC ABC . CHỨNG MINH RẰNG HAI ĐƯỜNG PHÂN GIÁC CỦA GÓC NGOÀI TẠI B VÀ C VÀ ĐƯỜNG PHÂN GIÁC TRONG CỦA GÓC A CÙNG ĐI QUA MỘT ĐIỂM
Cho tam giác ABC, điểm M nằm trong tam giác. Các tia BM, CM tương ứng cắt các cạnh AC, AB lần lượt tại D và E. Đường thẳng BC cắt đường thẳng DE tại T. Chứng minh rằng :
a, Nếu AD.AC = AE.AB thì tam giác ABD đồng dạng với tam giác ACE và tam giác TBD đồng dạng với tam giác TEC.
b, Nếu AM là phân giác trong của tam giác của góc A thì tia AT là phân giác ngoài của góc.