a)   \(\Delta ABC\)cân tại   \(A\)

\(\Rightarrow\)\(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\)   ;     \(AB=AC\)

mà    \(\widehat{ABC}+\widehat{ABM}=\widehat{ACB}+\widehat{ACN}=180^0\)  (kề bù)

\(\Rightarrow\)\(\widehat{ABM}=\widehat{ACN}\)

Xét:   \(\Delta ABM\)và     \(\Delta ACN\)có:

      \(AB=AC\)(cmt)

     \(\widehat{ABM}=\widehat{ACN}\)(cmt)

     \(BM=CN\)(gt)

suy ra:    \(\Delta ABM=\Delta ACN\)(c.g.c)

\(\Rightarrow\)\(AM=AN\)(cạnh tương ứng)

\(\Rightarrow\)\(\Delta AMN\)cân tại   \(A\)

( sửa F thành O nha bạn )

a. xét tam giác ABM và tam giác ACN có

AB = AC ( ABC cân )

góc B = góc C ( ABC cân )

BM = CN ( gt )

Vậy tam giác ABM = tam giác ACN ( c.g.c )

b,c,d. xét tam giác vuông BHM và tam giác vuông CKN có:

góc B = góc C ( ABC cân )

BM = CN ( gt )

Vậy tam giác vuông BHM = tam giác vuông CKN ( cạnh huyền . góc nhọn )

=> MH = NK ( 2 cạnh tương ứng )

=> BH = CK ( 2 cạnh tương ứng )

Kẻ AE vuông với BC 

=> AE vuông BC (1)

ta có: AH = AK ( ABC cân, BH = CK ( cmt ) )

=> tam giác AHK cân ( câu c )

Mà A là đường cao của tam giác ABC cũng là đường cao tam giác AHK => AO là phân giác góc BAC ( câu d )

=> AO vuông HK (2)

Từ (1) và (2) => HK // BC ( 2 cạnh cùng vuông với cạnh thứ 3 ) ( câu b )

e. Áp dụng định lí pitago vào tam giác vuông BMH, có:

\(BM^2=MH^2+BH^2\)

\(BM^2=3^2+4^2=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5cm\)

BM = 5cm

Mà BM = MN = NC ( gt )

=> BC = BM + MN + NC = 5 +5 + 5 =15 cm

=> BC =15 cm

xét tam giác ABM và tam giác ACN có: AB=AC(gt); BM=CN(gt); góc ABM= góc ACN(cùng kề bù vs góc ABC)

suy ra tam giác ABM=tam giác ACN(c.g.c)

suy ra AM=AN

suy ra tam giác AMN cân tại A

b, xét tam giác ABH và tam giác ACK có: góc AHB= goác AKC =90 độ; AB=AC(gt); góc HAB= góc KAC ( do tam giác AMB= tam giác ANC)

suy ra tam giác AHB= tam giác AKC(ch-gn)

suy ra BH=CK

c, do tam giác AHB= tam giác AKC 

suy ra AH=AK