Hãy CM: \(r=\frac{a.\frac{sinB}{2}.\frac{sinC}{2}}{\frac{cosA}{2}}\) (r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC)
Hãy CM : \(r=\frac{a.\frac{sinB}{2}.\frac{sinC}{2}}{\frac{cosA}{2}}\)
(r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC)
Cho tam giác ABC có BC=a, M là trung điểm cạnh BC. Gọi r;r1;r2 lần lượt là bán kính các đường tròn nội tiếp tam giác ABC, MAB, MAC
Chứng minh: \(\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_2}\ge2\left(\frac{1}{r}+\frac{2}{a}\right)\)
Vẽ đường cao AH của \(\Delta\)ABC
Ta có: \(S_{MAB}=S_{MAC}=\frac{1}{2}S_{ABC}\)mà AM > AH (AH _|_ HM)
Do đó: \(\frac{4}{a}=\frac{2\cdot AH}{S_{ABC}}\le\frac{2AM}{S_{ABC}}=\frac{AM}{S_{MAB}}\left(1\right)\)
Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp \(\Delta\)ABC
Ta có \(S_{ABC}=S_{IBC}+S_{IAC}+S_{IAB}\)
\(\Rightarrow S_{ABC}=\frac{r\cdot BC}{2}+\frac{r\cdot AC}{2}+\frac{r\cdot AB}{2}\)
\(\Rightarrow\frac{2}{r}=\frac{AB+BC+AC}{2S_{MAB}}\)
Tương tự xét \(\Delta\)MAB và \(\Delta\)MAC ta cũng có:
\(\hept{\begin{cases}\frac{2}{r_1}=\frac{AM+AB+\frac{BC}{2}}{S_{MAB}}\\\frac{2}{r_2}=\frac{AM+AC+\frac{BC}{2}}{A_{MAC}}\end{cases}\left(2\right)}\)
Do đó:
\(\frac{4}{a}+\frac{2}{r}\le\frac{MA}{S_{MAB}}+\frac{AB+BC+AC}{2S_{MAB}}=\frac{1}{2}\left(\frac{AM}{S_{MAB}}+\frac{AB+\frac{AC}{2}}{S_{MAB}}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{AM}{S_{MAC}}+\frac{AC+\frac{BC}{2}}{S_{MAC}}\right)=\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_2}\)
Vậy \(\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_2}\ge2\left(\frac{1}{r}+\frac{1}{a}\right)\)
Cho tam giác ABC. Gọi ha, hb, hc là các đường cao và ra, rb, rc, là các bán kính của các đường tròn bàng tiếp các góc A, B, C của tam giác ABC. r là bán kính đường tròn nội tiếp. CMR:\(\frac{1}{r}=\frac{1}{h_a}+\frac{1}{h_b}+\frac{1}{h_c}\)
\(\frac{S}{h_a}+\frac{S}{h_b}+\frac{S}{h_c}=\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)=p=\frac{S}{r}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{r}=\frac{1}{h_a}+\frac{1}{h_b}+\frac{1}{h_c}\)
Học tốt!!!!!!!!!!!!!!!!
Cho tam giác ABC (\(\widehat{A}=90^o\)), BC = a. Gọi bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác ABC là r. Chứng minh rằng \(\frac{r}{a}\le\frac{\sqrt{2}-1}{2}\)
Ap dung cong thuc \(r=\frac{b+c-a}{2}\) (b=AC,c=AB , cai nay ban tu chung minh nhe)
ta co \(\frac{r}{a}=\frac{b+c-a}{2a}\le\frac{\sqrt{2\left(b^2+c^2\right)}-a}{2a}=\frac{\sqrt{2.a^2}-a}{2a}=\frac{a\sqrt{2}-a}{2a}=\frac{\sqrt{2}-1}{2}\)
Dau = xay ra khi b=c hay tam giac ABC vuong can tai A
Cho tam giác ABC vuông tại A, BC =a ; CA=b; AB =c ; r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC . Chứng minh rằng :
\(\frac{r}{a}\le\frac{\sqrt{2}-1}{2}\)
Cho tam giác ABC vuông tại A có BC=a CA=b AB=c gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác CMR \(\frac{r}{a}\le\frac{\sqrt{2}-1}{2}\)
Xét tam giác ABC có I là tâm đường tròn nội tiếp
\(S_{ABC}=S_{AIB}+S_{BIC}+S_{CIA}=\frac{1}{2}.AB.r+\frac{1}{2}.BC.r=\frac{1}{2}\)
\(AB+BC+CA.r=pr\)
P/s: Ko chắc
Cho tam giác ABC. Gọi ha, hb, hc là các đường cao và ra, rb, rc, là các bán kính của các đường tròn bàng tiếp các góc A, B, C của tam giác ABC. r là bán kính đường tròn nội tiếp. CMR:
a)\(\frac{1}{r}=\frac{1}{h_a}+\frac{1}{h_b}+\frac{1}{h_c}\)
b) \(\frac{1}{r}=\frac{1}{r_a}+\frac{1}{r_b}+\frac{1}{r_c}\)
Gọi O là tâm đường tròn bàng tiếp trong góc A.Ta có:
\(S_{OAC}+S_{OAB}-S_{OBC}=S_{ABC}\Rightarrow b.r_a+c.r_a-a.r_a=2S\Rightarrow S=\frac{r_a\left(b+c-a\right)}{2}=r_a\left(p-a\right).\)(p là nửa chu vi tam giác ABC)
Cm tương tự: \(S=r_a\left(p-a\right)=r_b\left(p-b\right)=r_c\left(p-c\right)=p.r\)
\(\Rightarrow\frac{S}{r_a}+\frac{S}{r_b}+\frac{S}{r_c}=p-a+p-b+p-c=3p-2p=p=\frac{S}{r}\Rightarrow\frac{1}{r}=\frac{1}{r_a}+\frac{1}{r_b}+\frac{1}{r_c}\)(đpcm)
Đặt BC=a, AC=b, AB=c
\(P=\frac{a+b+c}{2}\)
S là diện tích của tam giác ABC
Ta có công thức tính bán kính của các đường tròn bàng tiếp:
Tại góc A: \(r_a=\frac{S}{P-a}\)
Tại góc B: \(r_b=\frac{S}{P-b}\)
Tại góc C: \(r_c=\frac{S}{P-c}\)
Công thức tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC:
\(r=\frac{S}{P}\)
=> \(\frac{1}{r_a}+\frac{1}{r_b}+\frac{1}{r_c}=\frac{P-a}{S}+\frac{P-b}{S}+\frac{P-c}{S}=\frac{3P}{S}-\frac{a+b+c}{S}\)
\(=\frac{3P}{S}-\frac{2P}{S}=\frac{P}{S}=\frac{1}{r}\)
1.Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn(O;R),hai đường cao BE va CF của tam giaic cắt nhau tai H. Kẻ đường kính AK của đường tròn(O;R),gọi là trung điểm của BC.
a,Chứng minh AH=2.I
b, Biết góc BAC=60 độ ,tính độ dài dây BC theo R
2,Cho tam giác ABC(góc A=90 độ),BC=a. Gọi bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác ABC là r. Chứng minh rằng : \(\frac{r}{a}\le\frac{\sqrt{2}-1}{2}\)
Cho tam giác ABC vuông tại A có BC=a CA=b AB=c gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác CMR \(\frac{r}{a}