Theo nguyên lí Đi - rích - lê

Gọi 11 số đó là a1,a2,...,a11

Đem chia 11 số đó cho 10 

Vì có 11 phép chia mà chỉ cho 10 số dư

=>có 2 số có cung số dư khi chia cho 10

Gọi 2 số đó là a_k và a_j

=>a_k-a_j chia hết cho 10

=>dpcm

Một số tự nhiên luôn có 1 trong 10 số dư khi chia cho 10

=> trong 11 số tự nhiên bất kì thì luôn có 2 số có cùng số dư trong phép chia cho 10

=> trong 11 số tự nhiên bất kì luôn có 2 số có chữ số tận cùng giống nhau(đpcm)

Có 4343 học sinh phân loại thành 88 loại điểm (từ 22 đến 99)

Giả sử trong 88 loại đều là điểm của không quá 55 học sinh thì lớp có:

5 . 8 = 40 học sinh, ít nhất hơn 33 học sinh so với 4343

Theo định lý Dirichlet tồn tại 66 học sinh có điểm kiểm tra bằng nhau.

:) 

Có 43 hs phân thành 8 loại điểm (từ 2 đến 9)

Giả sử trong 8 loại điểm đều là điểm ko quá 5hs thì lớp học có:

5 nhân 8=40, ít hơn 3 hs

Theo nguyên lý Diricle tồn tại 6 hs có điểm kiểm tra bằng nhau

Xét các tổng \(S_1=a_1\), \(S_2=a_1+a_2\),..., \(S_{10}=a_1+a_2+...+a_{10}\).

Trường hợp có tổng nào trong 10 tổng trên chia hết cho \(10\)ta có đpcm. 

Trường hợp không có tổng nào trong 10 tổng trên chia hết cho \(10\), khi đó số dư của các tổng trên cho \(10\)sẽ có 9 giá trị từ \(1\)đến \(9\). 

Khi đó sẽ có ít nhất 2 trong 10 tổng trên có cùng số dư khi chia cho \(10\). 

Khi đó hiệu của 2 tổng đó sẽ là 1 số chia hết cho \(10\), đó là 1 số hoặc tổng 1 số các số liên tiếp nhau trong dãy. 

Ta có đpcm.