Ta có: \(\overline{abc}=100a+10b+c=98a+2a+7b+3b+c\)

\(=\left(98a+7b\right)+\left(2a+3b+c\right)=7\left(14a+b\right)+\left(2a+3b+c\right)\)

Lại có: \(7\left(14a+b\right)⋮7\Rightarrow\left(2a+3b+c\right)⋮7\left(đpcm\right)\)

Ví dụ: abc+ ( 2a+3b+c) chia hết cho 7, ta có:

abc+ ( 2a+3b+c)=  a.100+b.10+c+2a+3b+c

 =   a.98+7.b 

Vì a.98 chia hết cho 7 ;98 chia hết cho 7 , 7.b chia hết cho 7 => a.98+7.b chia hết cho 7

Suy ra: abc+ ( 2a+3b+c) chia hết cho 7 

Mà theo đầu bài abc chia hết cho 7 => 2a+3b+c chia hết cho 7 .

Ta có: \(\overline{abc}⋮7\)

       \(=>100a+10b+c⋮7\)

        \(=>98a+2a+7b+3b+c⋮7\)

         Mà: \(98a⋮7\)

                \(7b⋮7\) 

        \(=>2a+3b+c⋮7\)

abc chia hết cho 7=> 100a + 10b + c chia hết cho 7     (1)

Mà 98a chia hết cho 7; 7b chia hết cho 7

=>98a + 7b chia hết cho 7                                           (2)

Từ (1) và (2) => 100a + 10b + c-98a - 7b chia hết cho 7

=>2a + 3b + c chia hết cho 7

Ta có: abc = 100a + 10b + c 

          = 98a + 2a + 7b + 3b + c

          =( 98a + 7b ) + ( 2a + 3b + c )

Mà abc chi hết cho 7 => ( 98a + 7b ) + ( 2a + 3b +c ) chia hết cho 7

Mà 98a + 7b chia hết cho 7

Nên 2a + 3b +c chi hết cho 7

Giả sử: abc + ( 2a + 3b + c ) chia hết cho 7, ta có:

abc + ( 2a + 3b + c ) = a.100 + b.10 + c + 2a + 3b + c 

                               = a.98 + 7.b

Vì a.98 chia hết cho 7 ( 98 chia hết cho 7 ) , 7.b chia hết cho 7 => a.98 + 7.b chia hết cho 7.

=> abc + ( 2a + 3b + c ) chia hết cho 7

Mà theo đề bài abc chia hết cho 7 => 2a + 3b + c chia hết cho 7.

ta có : abc-(2a+3b+c) chia hết cho 7 vì 

abc-(2a+3b+c)=a.100+b.10+c-2a+3b+c

                     =a.98+7.b

vì a.98chia hết cho 7 , 7.bchia hết cho 7 suy ra a.98+7.bchia hết cho 7 

mà theo đề bài abcchia hết cho 7 suy ra 92a+3b+c)chia hết cho 7

abc = 100a + 10b + c = 98a + 2a + 7b + 3b + c = (98a + 7b) + (2a + 3b + c) = 7(14a + b) + (2a + b + c) chia hết cho 7

Mà 7(14a + b) chia hết cho 7

=. 2a + b + c chia hết cho 7

abc chia hết cho 7 

=> 100a+10b+c chia hết cho 7 

=> 98a+2a+7b+3b+c chia hết cho 7 

=> (98a+7b)+( 2a+3b+c) chia hết cho 7 

=> 7.(14a+b) + ( 2a+3b+c) chia hết cho 7 

=> 2a+3b+c chia hết cho 7 ( vì 7.(14a+b) chia hết cho 7)

=> dpcm