nếu n lẻ thì các số  n+3; n+5;... là hợp số

n chẵn: n =0 thì n +1 không là số nguyên tố

n= 2 thì n +7 là hợp số

n=4 thì thoả mãn

n là số 4

vì 4+1=5 là số nguyên tố

4+3=7 là số nguyên tố

4+7=11 là số nguyên tố

4+9=13 là số nguyên tố

4+13=17 là số nguyên tố

4+15=19 là số nguyên tố.

n là số 4

vì 4+1=5 là số nguyên tố

4+3=7 là số nguyên tố

4+7=11 là số nguyên tố

4+9=13 là số nguyên tố

4+13=17 là số nguyên tố

4+15=19 là số nguyên tố.

\(9n+24⋮3n+4\)

\(3\left(3n+4\right)+12⋮3n+4\)

\(12⋮3n+4\Rightarrow3n+4\inƯ\left(12\right)=\left\{1;2;3;4;6;12\right\}\)

Vì n là số tự nhiên 

=> Vậy ... ko xảy ra 

\(5n^3-9n^2+15n-27=0\)

\(=\left(5n-9\right)\left(n^2+3\right)\)Vì \(n^2+3>1\)Nên \(5n-9=1\)( vì nếu là số nguyên tố thì chỉ có 2 ước số là 1 và chính nó )

Vậy 5n = 10 => n = 2 

Với n = 2 ta có :

\(5n^3-9n^2+15n-27=7\)( nhận )

Nếu không tin bạn cứ tra bảng số nguyên tố đảm bảo có số 7 

S là số tự nhiên 

<=> 8n + 193 chia hết cho 4n + 3

=> 8n + 6 + 187 chia hết cho 4n + 3

=> 2.(4n + 3) + 187 chia hết cho 4n + 3

Mà 2.(4n + 3) chia hết cho 4n + 3

=> 187 chia hết cho 4n + 3

=> 4n + 3 thuộc Ư(187) = {-187; -17; -11; -1; 1; 11; 17; 187}

=> n thuộc {-95/2; -5; -7; -1; -1/2; 2; 7/2; 46}

Mà n là số tự nhiên

Vậy n thuộc {2; 46}.

Nếu n>2 thì n luôn luôn là số lẻ => n+1;n+3... là số chẵn => k nguyên tố => n có thể = 2. Nhưng k có 5 số lẻ liên tiếp là 5 số nguyên tố => n\(\in\)∅