a) \(n^3-4n=n\left(n^2-4\right)=\left(n-2\right)n\left(n+2\right)\)

vì n chẵn nên đặt n=2k

\(=>\left(2k-2\right).2k.\left(2k+2\right)=8\left(k-1\right)k\left(k+1\right)\)

vì \(\left(k-1\right)k\left(k+1\right)\)là 3 số tn liên tiếp =>chia hết cho 2

=>\(8\left(k-1\right)k\left(k+1\right)\)chia hết cho 16

\(n^3+4n=n^3-4n+8n\)

đặt n=2k

=>\(8\left(k-1\right)k\left(k+1\right)+16k\)

mà \(8\left(k-1\right)k\left(k+1\right)\)chia hết cho 16 nên \(8\left(k-1\right)k\left(k+1\right)+16k\)chia hết cho 16

n⁵ - n = n.(n⁴ - 1) = n.(n⁴ - 1).(n⁴ + 1)= n.(n-1).(n+1).(n⁴+1) (*)

Ta nhận thấy trong 3 thừa số n, n-1, n+1 thì có 1 số chia hết cho 3 vì đây là 3 số tự nhiên liên tiếp. 
Trong 3 số đó cũng phải có một số chẵn nên tích của chúng chia hết cho 2. 
Vì 2 và 3 nguyên tố cùng nhau nên tích 3 số đó sẽ chia hết cho 6. 
Bây giờ ta chứng minh (*) chia hết cho 5 như sau: 

Nếu n chia hết cho 5 thì dĩ nhiên (*) chia hết cho 5. 
Nếu n chia cho 5 dư 1 hoặc dư 4 thì dĩ nhiên n-1 hoặc n+4 tương ứng sẽ chia hết cho 5. 
Nếu n chia cho 5 dư 2 hoặc 3 thì n có dạng : 
n= 5k+2 hoặc 5k + 3 
Khi đó n² +1 : 
Hoặc bằng: (5k+2)² +1 = 25k² + 20k +4 + 1= 5(5k² + 4k +1) , dĩ nhiên nó chia hết cho 5. 
Hoặc bằng: (5k+3)² +1 = 25k² + 30k +9 + 1= 5(5k² + 6k +2) , dĩ nhiên nó cũng chia hết cho 5. 
Vậy với mọi trường hợp khi n chia cho 5 có số dư là bao nhiêu, thì (*) cũng chia hết cho 5. 

(*) chia hết cho 5 và cho 6, mà 5 và 6 nguyên tố cùng nhau nên (*) chia hết cho 30.

toán ko phải lớp 6 

A=n^5-n
=n(n^4-1)
=n(n-1)(n+1)(n^2+1)
n(n-1)(n+1) chia hết cho 6
nếu n=5k => A chia hết cho 5.6=30
nếu n=5k+1 => -1 chia hết cho 5 => A chia hết cho 30
Nếu n=5k+2 => ^2+1=25k^2+20k+5 chia hết cho 5
=> A chia hết cho 10
nếu n=5k+3 =>^2+1=25k^2+30k+10 chia hết cho 5
=>A chia hết cho 30
Nếu n=5k+4 =>+1=5k+5 chia hết cho 5
=>A chia hết cho 30
Vậy với n nguyên dương thì n^5-n chia hết cho 30

ko thể chứng minh đc hay sao ấy? nhìn kì sao à?

đề sai : với n = 2 => 31 không chia hết cho 30

+Nếu a_i⋮30 thì a_i⁵⋮30.

+Nếu a_i chia 5 dư 1 thì a_i⁵ chia 30 dư 1 (a_i⁵ ≡ 1⁵ ≡ 1 (mod 30))

+Nếu a_i chia 5 dư 2 thì a_i⁵ chia 30 dư 2 (a_i⁵ ≡ 2⁵ ≡ 2 (mod 30))

.
.
.

+Nếu a_i chia 5 dư 29 thì a_i⁵ chia 30 dư 29

Vậy a_i⁵ luôn có cùng số dư với a_i khi chia cho 30.

Do Tổng a_i (i = 1..n) chia hết cho 30

Nên tổng a_i⁵ (i = 1..n)chia hết cho 30.

Có vẻ cách này không hay lắm, nhưng kẹt thì đành làm vậy.