a, xét tam giácNMD và tam giác PQD có : MD = DQ (gt)

góc MDN = góc QDP  (đối đỉnh)

ND = DP do D là trung điểm của PN (gt)

=> tam giác NMD = tam giác PQD (c-g-c)

=> MN = PQ (đn)

b, tam giác NMD = tam giác PQD  (câu a)

=> góc MND = góc DPQ (đn) mà 2 góc này slt

=> MN // PQ (tc)

a,b) Xét tam giác MNP có

       MN=MP

Suy ra MNP cân => MD là đg trung trực (tc)

                          => MD  NP

Xét tứ giác MPQN có

  D là tđ MQ

  D là tđ NP

  MD  NP 

Suy ra  MPQN là hình thoi

=> MN=PQ ; MN || PQ

c) Ta có

MN || PQ => MN || PE ( P thuộc EQ)

                   ME || NP (gt)

              Suy ra MEPN là hình bình hành

                         =>  MN= EP (tc)

Mà MN=PQ (cmt) => PE=PQ => P là trung điểm QE (đpcm)

 Đ/S:......

Hình vẽ bạn tự vẽ nha

Trước hết chứng minh :(tự chứng minh lun)

Cho tam giác ABC vuông cân tại A . Chứng minh \(\sqrt{2}\cdot AB=BC\)(*)

Xét tam giác KDM và tam giác IEM ta có:

KM=MI (gt) 

KMD= IME (gt);

MD=ME (gt);

=>  tam giác KDM = tam giác IEM (c.g.c);

=> KD= EI (tương ứng);

Lại có NMP=90 (gt) => NMK+ KMP=90

=> IME+ KMP =90 => IMK =90  mà KM=MI 

=> tam giác KMI vuông cân tại M

Xét tam giác NMP vuông cân tại M có MNH=45 mà MHN=90 (do MH là đường cao)

=>Tam giác MHN vuông cân tại H 

Áp dụng (*) vào  tam giác KMI vuông cân tại M và tam giác MHN vuông cân tại H ta được:

\(\hept{\begin{cases}\sqrt{2}\cdot MH=MN\\\sqrt{2}\cdot KM=KI\end{cases}}\)mà \(KM\ge MH\)

\(\Rightarrow KI\ge MN\)

Xét 3 điểm K,E,I ta có:

\(KE+EI\ge KI\)

hay \(KE+KD\ge MN\)

Hoàng Nguyễn Văn Dòng thứ 5 dưới lên sai rồi mem,tự coi lại nha,không thể như thế được đâu.Tại sao \(KM\ge MH\) lại suy ra \(KI\ge MN\) được ??

nhân cả 2 vế với căn 2 thui mà 

a ) Xét ◇DENF có :

Góc N = Góc F = Ê = 90°

\(\Rightarrow\)◇DENF là hình chữ nhật

b ) Trong \(\Delta\)MNP có : ND là đường trung tuyến 

\(\Rightarrow\)ND = DP ( vì đường trung tuyến bằng nữa cạnh huyền )

Xét \(\Delta\)NDF và \(\Delta\)PDF có :

\(\Rightarrow\)\(\Delta\)NDF = \(\Delta\)PDF ( cạnh huyền - cạnh góc vuông )

\(\Rightarrow\)NF = PF ( 2 cạnh tương ứng )

\(\Rightarrow\)F là trung điểm NP

a) Xét tứ giác NEDF có +)  \(\widehat{ENF}=90^0\)(tam giác MNP vuông tại N)

+) \(\widehat{DFN}=90^0\)(DF vuông góc NP)

+)  \(\widehat{DEN}=90^0\)(DE vuông góc MN)

\(\Rightarrow\)tứ giác NEDF là hình chữ nhật

b) Xét \(\Delta DFN\)và \(\Delta DFP\)có:

   DF : cạnh chung

   DN = DP ( Do ND là trung tuyến của tam giác vuông MNP)

Do đó \(\Delta DFN\)\(=\Delta DFP\left(ch-cgv\right)\)

\(\Rightarrow NF=PF\)

Suy ra F là trung điểm của NP (đpcm)

a) Xét \(\Delta\)ANM và \(\Delta\)ABM có :

\(\Rightarrow\)\(\Delta\)ANM = \(\Delta\)ABM ( c . g . c )

\(\Rightarrow\)AN = AB ( hai cạnh tương ứng )

b) Gọi giao điểm giữa NB và MA là I

     Xét \(\Delta\)INM và \(\Delta\)IBM có :

\(\Rightarrow\)\(\Delta\)INM = \(\Delta\)IBM ( c . g . c )

\(\Rightarrow\)Góc MIN = góc MIB ( hai góc tương ứng )

Mà góc MIN + góc MIB = 180 ( do kề bù )

nên góc MIN = góc MIB = 180 ÷ 2 = 90 độ hay NB vuông góc với MA .