Chia một góc thành nhiều phần bằng nhau bằng thước thẳng và compa

 *   *   *

Kết quả nghiên cứu nầy gồm 3 phần:

Phần 1 – Chia ba một góc cho sẵn bằng thước thẳng và compa
Phần 2 – Vẽ một đa giác đều có n cạnh bằng thước thẳng và compa
Phần 3 – Chia một góc thành nhiều phần bằng nhau.
Hệ luận Thuận Hoà (hay Thuanhoa’s corollary)

        ____________________

Phần 1 – Chia ba một góc cho sẵn bằng thước thẳng
và compa

(Phần này là tiền đề cho Phần 3.  Thuận Hoà chỉ trình bày lại những kết quả đã biết và phổ biến trong nhiều sách và Internet.)

“Chia một góc cho sẵn thành 3 phần bằng nhau” là một trong 3 bài toán trong hình học phẳng Euclide “không giải được” từ thời các nhà toán học cổ Hy lạp. Thật ra, phải nói rõ ra là “không vẽ được bằng compa và thước thẳng không chia độ” mới đúng. Thước thẳng không chia độ là thước chỉ dùng để gạch đường thẳng nối 2 điểm hay qua một điểm và thẳng góc với một đường thẳng khác mà thôi. Hai bài toán khác là:  (i) Vẽ một hình vuông có diện tích bằng diện tích của một vòng tròn cho sẵn và (ii) Vẽ một hình lập phương có thể tích gắp đôi thể tích của một hình lập phương cho sẵn.

Thật ra, không phải tất cả mọi góc đều không thể chia 3 đuợc bằng phép vẽ chỉ dùng compas và thước thẳng.

Ta biết rằng 1/3 của góc 60^o là 20^o, nhưng chia một góc 60^o làm 3 phần không thể thực hiện được chỉ bằng compa và thước thẳng.  Lý do là vì chia một góc 60^o làm 3 phần tương đương với giải một phương trình bậc 3 có nghiệm số không hửu tỉ. Điều đó có thể thấy được qua một hệ thức lượng giác là cos(3θ) = 4cos³(θ) − 3cos(θ).

Nếu 3θ = 60^o thì  cos(3θ) = 1/2. Chia góc 3θ = 60^o  làm 3 phần tương đương với tìm một góc θ  thoả phương trình:

4cos³(θ) − 3cos(θ) = 1/2

hay      8x³  – 6x – 1 = 0     nếu đặt  x =  cos(θ)
hay, đặt  y = 2x
y³ – 3y – 1 = 0            (1)

Phương trình (1) không có nghiệm hửu tỉ. Thật vậy, nếu (1) có một nghiệm hửu tỉ  r/s với  r và s là 2 số nguyên không có thừa số chung, thì thay y = r/s vào (1) và rút gọn:

= >  s³ = r(r² -3s²)  chia đúng cho r   => s và r có thừa số chung. trừ khi r = ± 1.
= >  r³ = s²(s + 3r) chia đúng co s²   => s và r có thừa số chung, trừ khi  s = ± 1.

Vì  r và s được giả thiết là không có thừa số chung, nên trường hợp nầy chỉ chấp nhận được khi
r = ± 1 và s = ± 1 và  nghiệm số hửu tỉ của phương trình (1) chỉ có thể là +1 hay -1. Mà cà +1 và -1 dều không nghiệm đúng (1).

Tóm lại: phương trình (1) không có nghiệm hửu tỉ. Điều đó chứng tỏ rằng không vẽ được một góc 20^o từ một góc 60^o cho sẵn bằng compa và thước thẳng.

Chia ba một góc cho sẵn thường không thhể được với compa và thước thẳng. Thước thẳng nầy chỉ có nhiệm vụ duy nhất là để kẻ đường thẳng mà thôi.

Tuy nhiên, với một thước thẳng có chia độ, được hiểu là thước có thể dùng để đo khoảng cách của 2 điểm, thì bài toán chia ba một góc cho sẵn có thể giải được như dưới đây.

Ta có:  BA = BC = CD
=> Hai tam giác BAC và BCD cân lần lượt ở B và C.
Gọi b là 2 góc đáy của tam giác BCD và c là 2 góc đáy của tam giác BAC.

=>  Góc CBD = CDB = b  và  Góc BCA = BAC = c
=>  Góc BCA = CBD + CDB  => c = 2b      (Góc ngoài tam giác)

Gọi d là góc ở đỉnh của tam giác cân BAC
=>  Góc ABC = d = 180^o – 2c = 180^o – 4b   vì  c = 2b

Tổng số các góc ở đỉnh B bằng 180^o:
= >       a + d  + b = 180^o
= >       a + (180^o – 4b) + b = 180^o  =>  b = a/3

Như vậy là ta đã vẽ được một góc bằng 1/3 một góc cho sẵn.

moi hok lop 6

Dựng 1 tia có đầu mút là 1 đầu bất kì của đoạn thẳng đã cho.

Dùng compa xác định 3 đoạn thẳng bằng nhau liên tiếp trên tia vừa vẽ, bắt đầu từ điểm gốc của tia.

Nối điểm cuối của đoạn thẳng cuối với điểm còn lại của đoạn thẳng đã cho.

Dựng các đường thẳng đi qua các điểm đã xác định trên tia và song song với đoạn thẳng vừa mới dựng 

nhưng chia ra làm bao nhiêu phần mới được chứ?

chia thành 2,3,4,5,6 phần bằng nhau

Dựng 1 tia có đầu mút là 1 đầu bất kì của đoạn thẳng đã cho.
Dùng compa xác định 3 đoạn thẳng bằng nhau liên tiếp trên tia vừa vẽ, bắt đầu từ điểm gốc của tia.
Nối điểm cuối của đoạn thẳng cuối với điểm còn lại của đoạn thẳng đã cho.Dựng các đường thẳng đi qua các điểm đã xác định trên tia và song song với đoạn thẳng vừa mới dựng
 

Chia một góc thành nhiều phần bằng nhau bằng thước thẳng và compa

 *   *   *

Kết quả nghiên cứu nầy gồm 3 phần:

Phần 1 – Chia ba một góc cho sẵn bằng thước thẳng và compa
Phần 2 – Vẽ một đa giác đều có n cạnh bằng thước thẳng và compa
Phần 3 – Chia một góc thành nhiều phần bằng nhau.
Hệ luận Thuận Hoà (hay Thuanhoa’s corollary)

        ____________________

Phần 1 – Chia ba một góc cho sẵn bằng thước thẳng
và compa

(Phần này là tiền đề cho Phần 3.  Thuận Hoà chỉ trình bày lại những kết quả đã biết và phổ biến trong nhiều sách và Internet.)

“Chia một góc cho sẵn thành 3 phần bằng nhau” là một trong 3 bài toán trong hình học phẳng Euclide “không giải được” từ thời các nhà toán học cổ Hy lạp. Thật ra, phải nói rõ ra là “không vẽ được bằng compa và thước thẳng không chia độ” mới đúng. Thước thẳng không chia độ là thước chỉ dùng để gạch đường thẳng nối 2 điểm hay qua một điểm và thẳng góc với một đường thẳng khác mà thôi. Hai bài toán khác là:  (i) Vẽ một hình vuông có diện tích bằng diện tích của một vòng tròn cho sẵn và (ii) Vẽ một hình lập phương có thể tích gắp đôi thể tích của một hình lập phương cho sẵn.

Thật ra, không phải tất cả mọi góc đều không thể chia 3 đuợc bằng phép vẽ chỉ dùng compas và thước thẳng.

Ta biết rằng 1/3 của góc 60^o là 20^o, nhưng chia một góc 60^o làm 3 phần không thể thực hiện được chỉ bằng compa và thước thẳng.  Lý do là vì chia một góc 60^o làm 3 phần tương đương với giải một phương trình bậc 3 có nghiệm số không hửu tỉ. Điều đó có thể thấy được qua một hệ thức lượng giác là cos(3θ) = 4cos³(θ) − 3cos(θ).

Nếu 3θ = 60^o thì  cos(3θ) = 1/2. Chia góc 3θ = 60^o  làm 3 phần tương đương với tìm một góc θ  thoả phương trình:

4cos³(θ) − 3cos(θ) = 1/2

hay      8x³  – 6x – 1 = 0     nếu đặt  x =  cos(θ)
hay, đặt  y = 2x
y³ – 3y – 1 = 0            (1)

Phương trình (1) không có nghiệm hửu tỉ. Thật vậy, nếu (1) có một nghiệm hửu tỉ  r/s với  r và s là 2 số nguyên không có thừa số chung, thì thay y = r/s vào (1) và rút gọn:

= >  s³ = r(r² -3s²)  chia đúng cho r   => s và r có thừa số chung. trừ khi r = ± 1.
= >  r³ = s²(s + 3r) chia đúng co s²   => s và r có thừa số chung, trừ khi  s = ± 1.

Vì  r và s được giả thiết là không có thừa số chung, nên trường hợp nầy chỉ chấp nhận được khi
r = ± 1 và s = ± 1 và  nghiệm số hửu tỉ của phương trình (1) chỉ có thể là +1 hay -1. Mà cà +1 và -1 dều không nghiệm đúng (1).

Tóm lại: phương trình (1) không có nghiệm hửu tỉ. Điều đó chứng tỏ rằng không vẽ được một góc 20^o từ một góc 60^o cho sẵn bằng compa và thước thẳng.

Chia ba một góc cho sẵn thường không thhể được với compa và thước thẳng. Thước thẳng nầy chỉ có nhiệm vụ duy nhất là để kẻ đường thẳng mà thôi.

Tuy nhiên, với một thước thẳng có chia độ, được hiểu là thước có thể dùng để đo khoảng cách của 2 điểm, thì bài toán chia ba một góc cho sẵn có thể giải được như dưới đây.

Ta có:  BA = BC = CD
=> Hai tam giác BAC và BCD cân lần lượt ở B và C.
Gọi b là 2 góc đáy của tam giác BCD và c là 2 góc đáy của tam giác BAC.

=>  Góc CBD = CDB = b  và  Góc BCA = BAC = c
=>  Góc BCA = CBD + CDB  => c = 2b      (Góc ngoài tam giác)

Gọi d là góc ở đỉnh của tam giác cân BAC
=>  Góc ABC = d = 180^o – 2c = 180^o – 4b   vì  c = 2b

Tổng số các góc ở đỉnh B bằng 180^o:
= >       a + d  + b = 180^o
= >       a + (180^o – 4b) + b = 180^o  =>  b = a/3

Như vậy là ta đã vẽ được một góc bằng 1/3 một góc cho sẵn.

  - Cái này là mình xem trên mạng chứ không phải mình tự làm -

love mon ko dài vậy đâu bạn 

a) Ta có: PA = PB (A; B nằm trên cung tròn tâm P) nên P nằm trên đường trung trực của AB.

CA = CB (C nằm trên 2 cung tròn tâm A, B bán kính bằng nhau) nên C nằm trên đường trung trực của AB.

Vậy CP là đường trung trực của AB, suy ra PC ⊥ d.

b) Một cách vẽ khác

- Lấy hai điểm A, B bất kì trên d.

- Vẽ cung tròn tâm A bán kính AP, cung tròn tâm B bán kính BP. Hai cung tròn cắt nhau tại C (C khác P).

- Vẽ đường thẳng PC. Khi đó PC là đường đi qua P và vuông góc với d.

Chứng minh :

- Theo định lí 2 :

PA = CA ( P,C cùng thuộc cung tròn tâm A bán kính PA)

⇒ A thuộc đường trung trực của PC.

PB = CB (P, C cùng thuộc cung tròn tâm B bán kính PB)

⇒ B thuộc đường trung trực của PC.

⇒ AB là đường trung trực của PC

⇒ PC ⏊ AB hay PC ⏊ d.

Cách dựng:

- Dựng tam giác đều ABC

- Dựng tia phân giác AD của ∠ (BAC)

Ta có  ∠ (BAD) =  30 0

Chứng minh:

∆ ABC đều ⇒  ∠ (BAC) =  60 0

∠ (BAD) =  ∠ (BAC)/2 (tính chất tia phân giác) ⇒  ∠ (BAD) = 30 0