Áp dụng bất đẳng thức AM - GM cho 3 số dương, ta được: \(S=2a+\frac{1}{a^2}=\left(\frac{1}{a^2}+8a+8a\right)-14a\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{a^2}.8a.8a}-14.\frac{1}{2}=5\)

Đẳng thức xảy ra khi a = ¹/₂

2a² + b²/4 + 1/a² = 4 
⇔ 8a⁴ + a²b² + 4 = 16a² 
⇔ a²b² = -8a⁴ + 16a² - 4 
⇔ a²b² = -8(a⁴ - 2a² + 1) + 4 
⇔ a²b² = -8(a² - 1)² + 4 ≤ 4 
⇔ │ab│ ≤ 2 
⇔ -2 ≤ ab ≤ 2 

--> A = ab + 2011 ≥ 2009 

Dấu " = " xảy ra ⇔ 
{ a² - 1 = 0 . . . --> { a = 1 . . . . . { a = -1 
{ ab = -2 . . . . . . . { b = -2 hoặc .{ b = 2 

moi hok lop 6

mình mới học lớp 5

duyệt nha

cho mik tron 130 đi các bạn

Vì a > 0 => a; a^2 + 1> 0 => a/a^2+1 >0 và a^2+1/2a > 0 

Áp dụng co si cho hai số không âm ta có: 

\(\frac{a}{a^2+1}+\frac{5\left(a^2+1\right)}{2a}=\frac{a}{a^2+1}+\frac{a^2+1}{4a}+\frac{9\left(a^2+1\right)}{4a}\)

\(\ge2\sqrt{\frac{a}{a^2+1}.\frac{a^2+1}{4a}}+\frac{9.2a}{4a}\)

\(=1+\frac{9}{2}=\frac{11}{2}\)

Dấu "=" xảy ra <=> a = 1

Vậy min S = 11/2  tại a = 1

Ta có: \(1=a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\).

\(P=\dfrac{a^3}{b+2c}+\dfrac{b^3}{c+2a}+\dfrac{c^3}{a+2b}=\dfrac{a^4}{ab+2ca}+\dfrac{b^4}{bc+2ab}+\dfrac{c^4}{ca+2bc}\)

\(\ge\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{3\left(ab+bc+ca\right)}=\dfrac{1}{3\left(ab+bc+ca\right)}\ge\dfrac{1}{3}\)

Dấu \(=\) xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\).

ta có:

\(S=\frac{a}{a^2+1}+\frac{5\left(a^2+1\right)}{2a}=\frac{a}{a^2+1}+\frac{a^2+1}{4a}+\frac{9\left(a^2+1\right)}{4a}\)

áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

\(\frac{a}{a^2+1}+\frac{a^2+1}{4a}\ge2\sqrt{\frac{a}{a^2+1}.\frac{a^2+1}{4a}}=2.\sqrt{\frac{1}{4}}=1\)

\(\frac{9\left(a^2+1\right)}{4a}\ge\frac{9.2a}{4a}=\frac{9}{2}\)

\(\Rightarrow S\ge\frac{9}{2}+1=\frac{11}{2}\)

Vậy \(Min_S=\frac{11}{2}\)khi a=1

bạn ơi tại sao lại là \(\frac{9\left(a^2+1\right)}{4a}=\frac{9.2a}{4a}\)

\(S=\frac{a}{a^2+1}+\frac{5\left(a^2+1\right)}{2a}=\frac{a}{a^2+1}+\frac{10\left(a^2+1\right)}{4a}\)

\(S=\frac{a}{a^2+1}+\frac{a^2+1}{4a}+\frac{9\left(a^2+1\right)}{4a}\)

Vì \(a>0\)nên áp dụng bất dẳng thức Cô-si cho 2 số dương, ta được:

\(\frac{a}{a^2+1}+\frac{a^2+1}{4a}\ge2\sqrt{\frac{a\left(a^2+1\right)}{4\left(a^2+1\right)a}}=2\sqrt{\frac{1}{4}}=2.\frac{1}{2}=1\left(1\right)\)

Vì \(a>0\)nên áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số dương, ta được:

\(a^2+1\ge2a\)

\(\Leftrightarrow9\left(a^2+1\right)\ge9.2a=18a\)

\(\Leftrightarrow\frac{9\left(a^2+1\right)}{4a}\ge\frac{18a}{4a}=\frac{9}{2}\left(2\right)\)(vì \(a>0\))

Từ (1) và (2), ta được:

\(\frac{a}{a^2+1}+\frac{a^2+1}{4a}+\frac{9\left(a^2+1\right)}{4a}\ge1+\frac{9}{2}\)

\(\Leftrightarrow S\ge\frac{11}{2}\)

Dấu bằng xảy ra

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}\frac{a}{a^2+1}=\frac{a^2+1}{4a}\\a^2=1\end{cases}}\Leftrightarrow a=1\)(thỏa mãn \(a>0\))

Vậy \(minS=\frac{11}{2}\Leftrightarrow a=1\)