Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa điểm C, lấy điểm I sao cho AB là đường trung trực của EI. Nối I với A và B.

Trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa điểm B, lấy điểm H sao cho AC là đường trung trực của EH. Nối H với A và C.

Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa điểm A, lấy điểm K sao cho BC là trung trực của FK. Nối K với B và C.

Nối E với K, nối F với I và H.

AB là trung trực của EI => BI=BE (Tính chất đường trung trực của đoạn thẳng)

BC là trung trực của FK => BF=BK.

Ta có: ^B₃=^B₁ (Theo đề bài) => ^B₃+^B₂=^B₁+^B₂ (Cộng mỗi vế với ^B₂) => 2.^B₃+^B₂=2.^B₁+^B₂ (1)

Xét \(\Delta\)AIB và \(\Delta\)AEB có:

AI=AE (T/c đường trung trực)

Cạnh AB chung                         => \(\Delta\)AIB=\(\Delta\)AEB (c.c.c)

BI=BE (cmt)

=> ^ABI=^B₃ (2 góc tương ứng) => ^ABI+^B₃=2.^B₃ => 2.^B₃=^IBE (2)

Xét \(\Delta\)BFC và \(\Delta\)BKC có:

CF=CK (T/c đường trung trực)

Cạnh BC chung                        => \(\Delta\)BFC=\(\Delta\)BKC (c.c.c) 

BF=BK (cmt)

=> ^B₁=^CBK (2 góc tương ứng) => 2^B₁=^KBF (3)

Thay (2) và (3) vào (1), ta có: ^IBE+^B₂=^KBF+^B₂ => ^FBI=^KBE.

Xét \(\Delta\)BIF và \(\Delta\)BEK có:

BI=BE (cmt)

^FBI=^KBE (cmt)    => \(\Delta\)BIF=\(\Delta\)BEK (c.g.c)

BF=BK (cmt) 

=> IF=EK (2 cạnh tương ứng) (4)

\(\Delta\)AIB=\(\Delta\)AEB (cmt) => ^BAI=^A₁ (2 góc tương ứng) => ^FAI=2.^A₁ (5)

AC là trung trực của EH => AE=AH. Mà AE=AI (cmt) => AH=AI.

Xét \(\Delta\)AHC và \(\Delta\)AEC có:

AH=AE (cmt)

Cạnh AC chung              => \(\Delta\)AHC=\(\Delta\)AEC  (c.c.c)

CH=CE (T/c trung trực)

=> ^CAH=^A₂ => ^FAH=2.^A₂ (6)

Mà ^A₁=^A₂ (Đề cho) => 2.^A₁=2.^A₂ (7) . Từ (5), (6) và (7) => ^FAI=^FAH

Xét \(\Delta\)FAH và \(\Delta\)FAI có:

Cạnh AF chung

^FAH=^FAI (cmt)  => \(\Delta\)FAH=\(\Delta\)FAI (c.g.c) => IF=HF (2 cạnh tương ứng) (8)

AH=AI (cmt)

Từ (4) và (8) => IF=EK=HF.  BC là trung trực của FK => CK=CF.

AC là trung trực của EH => CE=CH.

Xét \(\Delta\)KEC và \(\Delta\)FHC có:

EK=HF (cmt)

CK=CF (cmt)   => \(\Delta\)KEC=\(\Delta\)FHC (c.c.c)

CE=CH (cmt)

=> ^KCE=^FCH (2 góc tương ứng) => ^KCF+^C₂=^HCE+^C₂ => ^KCF=^HCE (9)

\(\Delta\)BFC=\(\Delta\)BKC (cmt) => ^C₁=^BCK (2 góc tương ứng) => ^KCF=2.^C₁ (10)

\(\Delta\)AHC=\(\Delta\)AEC (cmt) => ^C₃=^ACH (2 góc tương ứng) => ^HCE=2.^C₃ (11)

Thay (10) và (11) vào (9), ta có: 2.^C₁=2.^C₃ => ^C₁=^C₃ hay ^ACE=^BCF (đpcm).

Gọi G là giao điểm 3 phân giác của tg ABC => BG là phân giác góc EBF, 
và CG là phân giác góc ACB * 
góc ABE = góc FBD = α 
1. α = (góc ABC) / 2 
=> E, F trùng với G => góc ACE = FCD 
2. α < (góc ABC) / 2 
AE / FD = S(BAE) / S(BFD) (2 tg cùng đường cao) = (AB*BE*sinα / 2) / (BF*BD*sinα / 2) = 
= (AB / BD)*(BE / BF) = (AG / GD)*(BE / BF) ( tính chất đường phân giác) 
= (AG / GD)*(EG / GF) (do * - tính chất đường phân giác) *** 

AE / FD = S(CAE) / S(CFD) (2 tg cùng đường cao) = 
(AC*CE*sin(ACE) / 2) / (CF*CD*sin(FCD) / 2) = (AC / CD)*(CE / CF)*(sin(ACE) / sin(FCD)) = 
(AG / GD)*(CE / CF)*(sin(ACE) / sin(FCD)) (do * - tính chất đường phân giác) **** 
từ ***, **** => (CE / CF)*(sin(ACE) / sin(FCD)) = EG / GF 

Giả sử góc (ACE) > góc (FCD) => sin(ACE) / sin(FCD) > 1 => CE / CF < EG / GF ***** 
Mặt khác góc ECG = (góc ACB) / 2 - góc (ACE) < (góc ACB) / 2 - góc (FCD) = góc GCF 
nên nếu ta kẻ phân giác CG' của góc ECF thì G' nằm trong đoạn GF. Theo đl đường 
phân giác có CE / CF = EG' / FG' > EG / FG' > EG / GF, mâu thuẫn với ***** 
=> không thể có góc (ACE) > góc (FCD) 
tương tự không thể có góc (ACE) < góc (FCD) 
=> góc (ACE) = góc (FCD) 
3. α > (góc ABC) / 2 
=> góc ABF = góc EBD => từ phần 2 có góc ACF = góc ECD 
=> góc ACE = góc FCD 

bài này có trong sách nâng cao và phát triển 7 nha ba ba ba

Lần lượt vẽ H, K đối xứng với E, F qua AC, BC.

+) AC là đường trung trực của đoạn thẳng EH nên \(\widehat{HCE}=2\widehat{ACE}\)(*)

+) BC là đường trung trực của đoạn thẳng FK nên \(\widehat{FCK}=2\widehat{BCF}\)(**)

A thuộc đường trung trực của IE và EH nên AI = AE = AH

Suy ra tam giác AIH cân tại A mà AD là phân giác của góc A nên AD là trung trực của IH, do đó FI = FH (1)

Xét \(\Delta FBI\)và \(\Delta KBE\)có:

    BF = BK (B thuộc đường trung trực của FK)

    \(\widehat{IBF}=\widehat{EBK}\)(do \(\widehat{ABE}=\widehat{CBF}\Rightarrow\widehat{IBE}=\widehat{KBF}\Rightarrow\widehat{IBF}=\widehat{EBK}\))

   BI = BE (B thuộc đường trung trực của IE)

Do đó \(\Delta FBI\)\(=\Delta KBE\left(c-g-c\right)\)

\(\Rightarrow EK=FI\)(hai cạnh tương ứng) (2)

Từ (1) và (2) suy ra EK = FH

Xét \(\Delta KCE\)và \(\Delta FCH\)có:

    EC = HC (C thuộc đường trung trực của EH)

   KE = FH (cmt)

   CK = CF (C thuộc đường trung trực của FK)

Do đó \(\Delta KCE\)\(=\Delta FCH\left(c-c-c\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{ECK}=\widehat{HCF}\)(hai góc tương ứng)

\(\Rightarrow\widehat{ECH}=\widehat{KCF}\)(***)

Từ (*), (**), (***) suy ra \(\widehat{ACE}=\widehat{BCF}\left(đpcm\right)\)

https://lazi.vn/edu/exercise/cho-tam-giac-abc-co-goc-a-120-do-duong-phan-giac-ad-d-thuoc-bc-ve-de-vuong-goc-voi-ab-df-vuong-goc

a) ΔAED=ΔAFDΔAED=ΔAFD(ch-gn)nên DE=DF.(hai cạnh tương ứng)

Mặt khác dễ dàng chứng minh được EDFˆ=60o

Vì vậy tam giác DEF là tam giác đều

b)ΔEDK=ΔFDT(hai cạnh góc vuông)

nen DK=DI(hai cạnh tương ứng).Do đó Tam giác DIK cân ở D

c) AD là tia phân giác của góc BAC nên DAB^=DAC^=1/2BAC^=60o

AD//MC(gt),do đó AMCˆ=DABˆ=60o(hai góc nằm trong vị trí đồng vị)

AMC^=CAD^=60o(hai góc nằm trong vị trí sole trong)

Tam giác AMC có hai góc bằng nhau và khoảng 60o nên là tam giác đều

d)Ta có AF=AC-FC=CM-FC=m-n.