Gọi 4 số nguyên dương liên tiếp là n, n+1, n+2, n+3.

Đặt S=n(n+1)(n+2)(n+3)

=n(n+3)(n+1)(n+2)=(n^2+3n)(n^2+3n+2)=(n^2+3n)^2 + 2(n^2+3n) +1 -1

=(n^2 +3n +1)^2 - 1 

Sử dụng tính chất kẹp giữa của số chính phương:

(n^2 + 3n)^2 < (n^2 + 3n + 1)^2 - 1 < (n^2 + 3n +1)

Trên đây là 2 số chính phương liên tiếp nên S không là số chính phương.

a,Giả sử tích 2 số nguyên dương là 1 số chính phương

Gọi 2 số đó là \(x;x+1\left(x\inℕ^∗\right)\)

ta có:\(x\left(x+1\right)=a^2\left(a\inℤ|a\ne0\right)\)

Mà x và x+1 nguyên tố cùng nhau

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=b^2\\x+1=c^2\Rightarrow b^2+1=c^2\end{cases}}\)

\(\Rightarrow1=c^2-b^2=\left(c-b\right)\left(c+b\right)\Rightarrow c-b=c+b\Rightarrow b=0\Rightarrow x=0\)(Trái với giả thuyết)

Vậy điều giả sử là sai,do đó tích 2 số nguyên dương ko là số chính phương(DPCM)

Giả sử có số thỏa mãn đề bài

Gọi 3 số đó là\(x-1;x;x+1\left(x\inℕ|x>1\right)\)

Ta có:\(\left(x-1\right)x\left(x+1\right)=a^2\)(điều kiện như câu a)

\(\Rightarrow\left(x-1\right)\left(x+1\right)x=a^2\Rightarrow\left(x^2-1\right)x=a^2\)

Gọi d là ước chung của x và\(x^2-1\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x^2-1⋮d\\x⋮d\Rightarrow x^2⋮d\end{cases}}\)

\(\Rightarrow x^2-\left(x^2-1\right)=1⋮d\Rightarrow d=1\)

Do đó x và\(x^2-1\)nguyên tố cùng nhau

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=b^2\\x^2-1=\left(b^2\right)^2-1=c^2\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\left(b^2\right)^2-1=c^2\Rightarrow\left(b^2\right)^2-c^2=1\Rightarrow\left(b^2-c\right)\left(b^2+c\right)=1\Rightarrow b^2-c=b^2+c\Leftrightarrow c=0\)

\(\Rightarrow\left(b^2\right)^2-1=0\Rightarrow\left(b^2\right)^2=1\Rightarrow b^2=1\Rightarrow x=1\)(Trái với giả thuyết)

Vậy điền giả sử là sai,do đó ko có số nguyên dương thỏa mãn đề bài(ĐPCM)

a) Gọi 4 số tự nhiên liên tiếp đó là: n ; n+1; n+2; n+3 (n thuộc N)

Ta có: \(n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)+1=n\left(n+3\right)\left(n+1\right)\left(n+2\right)+1\)

    \(=\left(n^2+3n\right)\left(n^2+3n+2\right)+1\left(\cdot\right)\)

Đặt n² + 3n = t (t thuộc N) thì \(\left(\cdot\right)=t\left(t+2\right)+1=t^2+2t+1=\left(t+1\right)^2=\left(n^2+3n+1\right)^2\)

Vì n thuộc N nên (n²+3n+1) thuộc N

=> Vậy n(n+1)(n+2)(n+3)+1 là 1 số chính phương

tính giá trị của biểu thức 

a, 2x^2(ax^2+2bx+4c)=6x^4-20x^3-8x^2 với mọi x

b, (ax+b)(x^2-cx+2)=x^3+x^2-2 với mọi x

2. Gọi 4 số TN liên tiếp lần lượt là :a ; a + 1 ; a + 2 ; a + 3 ; a + 4 ( a thuộc N)

Ta có : a + a + 1 + a + 2 + a + 3 + a + 4 = a + a + a + a + 1 + 2 +3 + 4 = 4a + 6

Vì 4a chia hết cho 2 ; 6 chia hết cho 2 nên 4a + 6 chia hết cho 2

Vì 4a chia hết cho 4 ; 6 không chia hết cho 4 nên 4a + 6 không chia hết cho 4

Do đó tổng của 4 số TN liên tiếp chia hết cho 2 nhưng không chia hết cho 2²

Do đó tổng của 4 số TN liên tiếp không là số chính Phương

Học tốt 🐱

Gọi 4 số tự nhiên liên tiếp là: a;a+1;a+2;a+3(a thuộc N)

Ta có: a(a+1)(a+2)(a+3)+1=a(a+3)(a+1)(a+2)=\(\left(a^2+3a\right)\left(a^2+3a+2\right)+1\)

Đặt A=\(a^2+3a\)thì \(A\left(A+2\right)+1=A^2+2A+1=\left(A+1\right)^2\)

Vậy tích 4 số tự nhiên liên tiếp cộng 1 là số chính phương