Gọi \(ƯC\left(2x-y;x+y+1\right)=d\left(d\in N\right)\)

\(\Rightarrow2x-y⋮d,x+y+1⋮d\)

\(\Rightarrow\left(2x-y\right)\left(x+y+1\right)⋮d^2\Rightarrow x^2⋮d^2\Rightarrow x⋮d\) (1)

Mặt khác, \(2x-y+x+y+1⋮d\Rightarrow3x+1⋮d\) (2)

Từ (1) và (2) ta được: \(3x+1-3x⋮d\Rightarrow1⋮d\Rightarrow d=1\)

Vậy 2x - y và x + y + 1 là 2 số nguyên tố cùng nhau.

Mà \(\left(2x-y\right)\left(x+y+1\right)\) là số chính phương

Nên 2x - y và x + y + 1 là 2 số chính phương.

thtfgfgfghggggggggggggggggggggg

Ta có A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4
= (x2 + 5xy + 4y2)( x2 + 5xy + 6y2) + y4 
Đặt x2 + 5xy + 5y2 = t ( t
Z) thì
A = (t - y2)( t + y2) + y4 = t2 –y4 + y4 = t2 = (x2 + 5xy + 5y2)2 
V ì x, y, z
Z nên x2
Z, 5xy
Z, 5y2
Z
x2 + 5xy + 5y2
Z
Vậy A là số chính phương.

A = (x+2)(x+4)(x+6)(x+8)+16 =(x+2)(x+8)(x+4)(x+6)+16 =(x²+10x+16)(x²+10x+24)+16

đặt t=x²+10x+20

ta được: (t-4)(t+4) =t²-16 thay lại biểu thức A ta đc:

A = t² -16 +16 =t² =(x²+10x+20)²

Vậy A là số CP

\(A=\left(x+2\right)\left(x+4\right)\left(x+6\right)\left(x+8\right)+16\)

\(\Leftrightarrow A=\left(x+2\right)\left(x+8\right)\left(x+4\right)\left(x+6\right)+16\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+10x+16\right)\left(x^2+10x+24\right)+16\)

Đặt \(y=x^2+10+20\)

\(\Rightarrow A=\left(y-4\right)\left(y+4\right)+16\)

\(\Leftrightarrow A=y^2-16+16\)

\(\Leftrightarrow A=y^2=\left(x^2+10x+20\right)^{20}\)

Vậy với mọi STN x thì A luôn là 1 số chính phương

\(a\text{)}\)

\(A=x^2+4x-5=\left(x-1\right)\left(x+5\right)\)

\(\text{Nếu }x\text{ là số tự nhiên lẻ thì }x=2n+1\text{ (}n\in N\text{ )}\)
\(\text{Khi đó: }A=\left(2n+1-1\right)\left(2n+1+5\right)=2n.\left(2n+6\right)=4n\left(n+3\right)\)

+ \(n\text{ chẵn thì }n\left(n+3\right)\text{ chẵn }\Rightarrow n\left(n+3\right)\text{chia hết cho 2 }\Rightarrow4n\left(n+3\right)\text{ chia hết cho 8}\)

+ \(n\text{ lẻ thì }n+3\text{ chẵn }\Rightarrow n\left(n+3\right)\text{ chia hết cho 2 }\Rightarrow4n\left(n+3\right)\text{ chia hết cho 8}\)

Ta có đpcm.

\(\text{b)}\)

\(x^2+65=y^2\)\(\Rightarrow y^2-x^2=65\Leftrightarrow\left(y+x\right)\left(y-x\right)=65.1=13.5\)

\(\text{Do }x,y\text{ nguyên nên }y+x;y-x\text{ nguyên}\)

\(\text{Mà }y+x>y-x>0\text{ nên ta có:}\)

\(\text{+TH1: }y+x=65\text{ và }y-x=1\Leftrightarrow x=32;y=33\)

\(\text{+TH2:}y+x=13\text{ và }y-x=5\Leftrightarrow x=4;y=9\)

\(\text{Vậy }x\in\left\{4;32\right\}\text{ thì }x^2+65\text{ là số chính phương.}\)

Đặt x² + 2x + 8 = y² 

<=> (x² + 2x + 1) + 7 = y²

<=> (x + 1)² - y² = - 7

<=> (x + 1 - y)(x + 1 + y) = - 7 = - 1.7 = - 7.1

Với x + 1 - y = - 1 thì x + 1 + y = 7

<=> x - y = - 2 và x + y = 6

=> x = ( 6 - 2 ) : 2 = 2

Với x + 1 - y = - 7 thì x + 1 + y = 1

<=> x - y = - 8 và x + y = 0

=> x = ( 0 - 8 ) : 2 = - 4 ( loại )

Vậy x = 2 thì x² + 2x + 8 là số CP