Làm vô đây đài nhưng làm trog giấy ngắn lắm

1) a # b # c # a, thỏa a/(b-c) + b/(c-a) + c/(a-b) = 0 
<=> a(c-a)(a-b) + b(a-b)(b-c) + c(b-c)(c-a) = 0 
<=> -a(a-b)(a-c) - b(b-a)(b-c) - c(c-a)(c-b) = 0 
<=> a(a-b)(a-c) + b(b-a)(b-c) + c(c-a)(c-b) = 0 (*) 
từ (*) ta thấy a, b, c đối xứng nên không giãm tính tổng quát giả sử: a > b > c 

* Nếu a, b, c đều không âm, giả thiết trên thành a > b > c ≥ 0 
(*) <=> (a-b)(a² - ac - b² + bc) + c(c-a)(c-b) = 0 
<=> (a-b)[(a+b)(a-b) -c(a-b)] + c(c-a)(c-b) = 0 
<=> (a-b)².(a+b-c) + c(a-c)(b-c) = 0 (1*) 

thấy b - c > 0 (do b > c) và a > 0 => a+b-c > 0 => (a-b)².(a+b-c) > 0 và c(a-c)(b-c) ≥ 0 
=> (a-b)².(a+b-c) + c(a-c)(b-c) > 0 mâu thuẩn với (1*) 

Vậy c < 0 (nói chung là trong a, b, c phải có số âm) 

* Nếu cả a, b, c đều không có số dương do giả thiết trên ta có: 0 ≥ a > b > c 

(*) <=> a(a-b)(a-c) + (b-c)(b² - ab - c² + ca) = 0 
<=> a(a-b)(a-c) + (b-c)[(b+c)(b-c) - a(b-c)] = 0 
<=> a(a-b)(a-c) + (b-c)².(b+c-a) = 0 (2*) 

a - b > 0; a - c > 0 => a(a-b)(a-c) ≤ 0 (vì a ≤ 0) 
và b < 0; c - a < 0 => b + c -a < 0 => (b-c)².(b+c-a) < 0 
=> a(a-b)(a-c) + (b-c)².(b+c-a) < 0 mẫu thuẩn với (2*) 

chứng tỏ trong a, b, c phải có số dương 

Tóm lại trong 3 số a, b, c phải có số dương và số âm 

1) a # b # c # a, thỏa a/(b-c) + b/(c-a) + c/(a-b) = 0 
<=> a(c-a)(a-b) + b(a-b)(b-c) + c(b-c)(c-a) = 0 
<=> -a(a-b)(a-c) - b(b-a)(b-c) - c(c-a)(c-b) = 0 
<=> a(a-b)(a-c) + b(b-a)(b-c) + c(c-a)(c-b) = 0 (*) 
từ (*) ta thấy a, b, c đối xứng nên không giãm tính tổng quát giả sử: a > b > c 

* Nếu a, b, c đều không âm, giả thiết trên thành a > b > c ≥ 0 
(*) <=> (a-b)(a² - ac - b² + bc) + c(c-a)(c-b) = 0 
<=> (a-b)[(a+b)(a-b) -c(a-b)] + c(c-a)(c-b) = 0 
<=> (a-b)².(a+b-c) + c(a-c)(b-c) = 0 (1*) 

thấy b - c > 0 (do b > c) và a > 0 => a+b-c > 0 => (a-b)².(a+b-c) > 0 và c(a-c)(b-c) ≥ 0 
=> (a-b)².(a+b-c) + c(a-c)(b-c) > 0 mâu thuẩn với (1*) 

Vậy c < 0 (nói chung là trong a, b, c phải có số âm) 

* Nếu cả a, b, c đều không có số dương do giả thiết trên ta có: 0 ≥ a > b > c 

(*) <=> a(a-b)(a-c) + (b-c)(b² - ab - c² + ca) = 0 
<=> a(a-b)(a-c) + (b-c)[(b+c)(b-c) - a(b-c)] = 0 
<=> a(a-b)(a-c) + (b-c)².(b+c-a) = 0 (2*) 

a - b > 0; a - c > 0 => a(a-b)(a-c) ≤ 0 (vì a ≤ 0) 
và b < 0; c - a < 0 => b + c -a < 0 => (b-c)².(b+c-a) < 0 
=> a(a-b)(a-c) + (b-c)².(b+c-a) < 0 mẫu thuẩn với (2*) 

chứng tỏ trong a, b, c phải có số dương 

Tóm lại trong 3 số a, b, c phải có số dương và số âm

Tk mk nha

a #  b # c # a,thoan man a/(b-c)+b/(c-a)+c/(a-b)=0

<=> a(c-a)(a-b)+b(a-b)(b-c)+c(b-c)(c-a)=0

<=>-a(a-n)(a-c)-b(b-a)(b-c)+c(c-a)(c-b)(c-b)=0

<=>a(a-b)(a-c)+b(b-a)(b-c)+c(c-a)(c-b)=0               (*)

Tu (*)ta thay a,b,c doi xung nen ko giam tinh tong quat gia su :a>b>c

Nếu a,b,c đều ko âm ,giả thiết trên thành a>b>c>hoặc=0

(*)<=>(a-b)(a^2 - ac - b^2 +bc)+c(c-a)(c-b)=0

<=>(a-b)[(a+b)(a-b)- c(a-b)]+c(c -a)(c-b)=0

<=>(a-b)^2.(a+b-c)+c(a-c)(b-c)=0        (**)

Thấy b- c > 0 (do b > c)và a > 0 =>a+b-c > 0 =>(a-b)^2 . (a+b-c)>0 va c(a-c)(b-c)>hoac = 0

=>(a-b)^2.(a+b-c)+c(a-c)(b-c)>0 mâu thuẫn với (**)

Vay c < 0 (noi chung la trong a,b,c phai co so am )

Nếu cả a,b,c đều không có số dương do giả thiết trên ta có :0 > hoac = a > hoac = b>hoac = c

(*)<=>a(a-b)(a-c)+(b-c)(b^2-ab-c^2 + ca)=0

<=>a(a-b)(a-c)+(b-c)[(b+c)(b-c)-a(b-c)]=0

<=>a(a-b)(a-c)+(b-c)^2.(b+c-a)=0             (***)

a-b > 0 ;a- c > 0 => a(a-b)(a-c)< hoac = 0 (vi a < hoac = 0)

Và b<0 ; c -a < 0 => b+ c -a < 0=>(b-c)^2.(b+c-a)<0

=> a(a-b)(a-c)+(b-c)^2.(b+c-a)<0  mâu thuẫn với  (***)

Chứng tỏ trong a,b,c phải có số dương 

Tóm lại trong 3 số a,b,c phải có  số dương và âm 

k cho mình nha ! Chúc bạn học tốt

từ giả thiết suy ra

\(\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)^3=\frac{-1}{c^3}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}=\frac{-3.1}{\frac{a.1}{b.\left(\frac{1}{a+\frac{1}{b}}\right)}}=3...\)

\(\Rightarrow\frac{bc}{a^2}+\frac{ac}{b^2}+\frac{ab}{c^2}=\frac{abc}{a^3}+\frac{abc}{b^3}+\frac{abc}{c^3}\)

\(=abc\left(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}\right)\)

=abc.3/(abc)=3

Câu hỏi của ngô thị đào - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath

Bài làm đúng.

Có :

[a,b]=a.b

[b,c]=b.c

[a,c]=c.a

Không mất tính tổng quát, ta giả sử a<b<c

\(\Rightarrow a\ge2;b\ge3;c\ge5\)

\(\Rightarrow\frac{1}{\left[a,b\right]}+\frac{1}{\left[b,c\right]}+\frac{1}{\left[c,a\right]}\le\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.5}+\frac{1}{2.5}=\frac{1}{6}+\frac{1}{15}+\frac{1}{10}=\frac{1}{3}\)

(dpcm)

từ đề bài \(\Rightarrow\frac{a}{b-c}=-\frac{b}{c-a}-\frac{c}{a-b}=\frac{-b\left(a-b\right)-c\left(c-a\right)}{\left(a-b\right)\left(c-a\right)}=\frac{-ab+b^2-c^2+ac}{\left(a-b\right)\left(c-a\right)}\)

\(\Rightarrow\frac{a}{\left(b-c\right)^2}=\frac{-ab+b^2-c^2+ac}{\left(a-b\right)\left(c-a\right)\left(b-c\right)}\)

Tương tự : \(\hept{\begin{cases}\frac{b}{\left(c-a\right)^2}=\frac{-cb+c^2-a^2+ab}{\left(a-b\right)\left(c-a\right)\left(b-c\right)}\\\frac{c}{\left(a-b\right)^2}=\frac{-ac+a^2-b^2+bc}{\left(a-b\right)\left(c-a\right)\left(b-c\right)}\end{cases}}\)

Cộng vế với vế ta được : \(\frac{a}{\left(b-c\right)^2}+\frac{b}{\left(c-a\right)^2}+\frac{c^2}{\left(a-b\right)^2}\)

\(=\frac{-ab+b^2-c^2+ac-bc+c^2-a^2+ab-ac+a^2-b^2+bc}{\left(a-b\right)\left(c-a\right)\left(b-c\right)}=0\)(đpcm)

tôi lớp 7 mà

huhuhu

a) Từ giả thiết : \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\text{=}\dfrac{1}{c}\)

\(\Rightarrow2ab\text{=}2bc+2ca\)

\(\Rightarrow2ab-2bc-2ca\text{=}0\)

Ta xét : \(\left(a+b-c\right)^2\text{=}a^2+b^2+c^2+2ab-2bc-2ca\)

\(\text{=}a^2+b^2+c^2\)

Do đó : \(A\text{=}\sqrt{a^2+b^2+c^2}\text{=}\sqrt{\left(a+b-c\right)^2}\)

\(\Rightarrow A\text{=}a+b-c\)

Vì a;b;c là các số hữu tỉ suy ra : đpcm

b) Đặt : \(a\text{=}\dfrac{1}{x-y};b\text{=}\dfrac{1}{y-x};c\text{=}\dfrac{1}{z-x}\)

Do đó : \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\text{=}\dfrac{1}{c}\)

Ta có : \(B\text{=}\sqrt{\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}}\)

Từ đây ta thấy giống phần a nên :

\(B\text{=}a+b-c\)

\(B\text{=}\dfrac{1}{x-y}+\dfrac{1}{y-z}-\dfrac{1}{z-x}\)

Suy ra : đpcm.

Mình bổ sung đề phần b cần phải có điều kiện của x;y;z nha bạn.

Giả sử a < b < c thì a \(\ge\)2 ; b \(\ge\)3 ; c \(\ge\)5.

Ta có :

\(\frac{1}{\left[a,b\right]}=\frac{1}{ab}\le\frac{1}{6},\frac{1}{\left[b,c\right]}=\frac{1}{bc}\le\frac{1}{15},\frac{1}{\left[c,a\right]}=\frac{1}{ca}\le\frac{1}{10}\)

suy ra vế trái nhỏ hơn hoặc bằng :

\(\frac{1}{6}+\frac{1}{15}+\frac{1}{10}=\frac{1}{3}\text{ ( đpcm )}\)

Câu hỏi của CTV - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath