= 1 + 2 + (2² + 2³ + 2⁴) + ........ + (2²⁰¹² + 2²⁰¹³ + 2²⁰¹⁴⁾

= 3 + 7.2² + ..... + 2²⁰¹².7 

= 7(2² + ... + 2²⁰¹²) + 3

Vậy chia 7 dư 3         

.............

Ta thấy 2⁰ +  2¹ + 2² chia hết cho 7

2³+2⁴+2⁵ chia hết cho 7

Cứ lần lượt thế, bạn sẽ thấy cứ 3 số liên tiếp sẽ chia hết cho 7

Vậy ta có: 2014 : 3 = 671 (dư 1)

=> Số dư của biểu thức 2⁰ +  2¹ + 2² + ....+ 2²⁰¹⁴ khi chia cho 7 là 1

Phạm Vũ Hoa Hạ sai 100%

hình như cái này toán lp 6 mà bạn

\(2^0+2^1+2^2+2^3+...+2^{2014}.\)

\(=1+\left(2^1+2^2+2^3\right)+\left(2^4+2^5+2^6\right)+.....+\left(2^{2012}+2^{2013}+2^{2014}\right)\)

\(=1+2\left(1+2+2^2\right)+2^4\left(1+2+2^2\right)+....+2^{2012}\left(1+2+2^2\right)\)

\(=1+2.7+2^4.7+.....+2^{2012}.7\)

\(=1+7\left(2+2^4+....+2^{2012}\right)\)

\(7\left(2+2^4+...+2^{2012}\right)⋮7\)\(\Rightarrow\)\(2^0+2^1+2^2+2^3+...+2^{2014}\)\(chia7\)\(dư1\)

Ta có:

\(A=\frac{1}{3}+\frac{2}{3^2}+\frac{3}{3^3}+\frac{4}{3^4}+...+\frac{100}{3^{100}}\)

\(\Rightarrow3A=1+\frac{2}{3}+\frac{3}{3^2}+\frac{4}{3^3}+...+\frac{100}{3^{99}}\)

\(\Rightarrow2A=1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^3}+\frac{1}{3^4}+...+\frac{1}{3^{99}}-\frac{100}{3^{100}}\)

\(\Rightarrow6A=3+1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^3}+\frac{1}{3^4}+...+\frac{1}{3^{98}}-\frac{100}{3^{99}}\)

\(\Rightarrow4A=3-\frac{101}{3^{99}}+\frac{100}{3^{100}}=3-\frac{203}{3^{100}}\)

\(\Rightarrow A=\frac{3-\frac{203}{3^{100}}}{4}=\frac{3}{4}-\frac{203}{3^{100}.4}< \frac{3}{4}\Rightarrowđpcm\)

Vậy \(A< \frac{3}{4}\)