A = 1 + 3 + 3 2 + 3 3 + . . . + 3 30

3 A = 3 + 3 2 + 3 3 + . . . + 3 30 + 3 31

2A = 3A – A =  ( 3 + 3 2 + 3 3 + . . . + 3 30 + 3 31 )  –  ( 1 + 3 + 3 2 + 3 3 + . . . + 3 30 )

2A =  3 31 - 1

A =  3 31 - 1 2

Ta có  3 1 = 3 ; 3 3 = 9 ; 3 3 = 27 ; 3 4 = 81 ; 3 5 = 243

với n ≥ 0 thì  3 4 n + 3 có chữ số tận cùng là 7.Vì  31 = 4.7 + 3 nên  3 31 có chữ số tận cùng là 7. Do đó  3 31 - 1 2  có chữ số tận cùng là 3. Mà không có số nào bình phương lên có chữ số tận cùng là 3 nên A không là số chính phương.

Tìm chữ số tận cùng của A, từ đó suy ra A không phải số chính phương

 Ta nhận thấy một số có tận cùng là \(x\) thì khi lũy thừa lên mũ \(4k+1\left(k\inℕ\right)\) thì số nhận được cũng sẽ có tận cùng là \(x\). (*)

 Thật vậy, giả sử \(N=\overline{a_0a_1a_2...a_n}\). Khi đó \(N^{4k+1}=\left(\overline{a_0a_1a_2...a_n}\right)^{4k+1}\) \(=\left(\overline{a_0a_1a_2...a_{n-1}0}+a_n\right)^{4k+1}\) \(=a_n^{4k+1}\) nên ta chỉ cần xét số dư của các số từ 0 đến 9 lũy thừa với số mũ \(4k+1\).

 Dễ nhận thấy nếu \(a_n\in\left\{0,1,5,6\right\}\) thì \(a_n^{4k+1}\) sẽ có chữ số tận cùng là \(a_n\).

 Nếu \(a_n\in\left\{3,7,9\right\}\) thì để ý rằng \(3^4=9^2=81;7^4=2401\) đều có tận cùng là 1 nên hiển nhiên \(a_n^{4k}=\left(a_n^4\right)^k\) có tận cùng là 1. Do đó nếu nhân thêm \(a_n\) thì \(a_n^{4k+1}\) có chữ số tận cùng là \(a_n\).

 Nếu \(a_n\in\left\{2,4,8\right\}\) thì do \(2^4=16;4^4=256;8^4=4096\) đều có chữ số tận cùng là 6 \(\Rightarrow a_n^{4k}\) có chữ số tận cùng là 6. Khi nhân thêm \(a_n\) vào thì bộ \(\left(a_n;a_n^{4k+1}\right)\) sẽ là \(\left(2;2\right);\left(4;4\right);\left(8;8\right)\). 

 Vậy (*) đã được chứng minh.

 \(\Rightarrow\) S có chữ số tận cùng là \(2+3+4+...+4\) (tới đây bạn chỉ cần đếm xem có bao nhiêu trong mỗi chữ số từ 0 đến 9 xuất hiện trong tổng trên là xong nhé)

\(a_n^{4k}\)

Bạn tìm chữ số tận cùng của S  là chứng phim không phải là số chính phương 

S=1+3+3²+3³+...+3²⁰

3S=3+3²+3³+...+3²⁰+3²¹

3S-S=3²¹-1

2S=3²¹-1

S=(3²¹-1):2

Đặt S = 1+ 3 mũ 1 + 3 mũ 2 + 3 mũ 3 + ... + 3 mũ 20 (1)

=> 3S = 3 + 3 mũ 2 + 3 mũ 3 + 3 mũ 4 + ... + 3 mũ 21 (2) 

Lấy ( 2 ) trừ ( 1 )  vế theo vế , ta được :

3S - S = 3 mũ 21 - 1 

2S = 3 mũ 21 - 1

S = ( 3 mũ 21 - 1 ) : 2

ĐÂY LÀ LỜI GIẢI CHI TIẾT HƠN NHA MẤY BẠN 

BÀI CỦA BẠN KIA ĐÚNG RỒI NHA !!!!!!!

CHỈ LÀ MÌNH GIẢI CHI TIẾT CHO CÁC BẠN HIỂU HƠN THÔI !!!!!

THANKS NHIỀU

S = 1 + 2 + 2² + 2³ + ... + 2¹⁰⁰ 

2S = 2 . ( 1 + 2 + 2² + 2³ + ... + 2¹⁰⁰)

2S = 2 + 2² + 2³ + 2⁴ + ... + 2¹⁰¹ 

2S - S = ( 2 + 2² + 2³ + 2⁴ + ... + 2¹⁰¹ ) - ( 1 + 2 + 2² + 2³ + ... + 2¹⁰⁰ )

1S = 2¹⁰¹ - 1

S = 2¹⁰¹ - 1

Vậy S = 2¹⁰¹ - 1

Học tốt!!!