gọi 3 phân số đó là
1/a; 1/b; 1/c
vậy ta có: 1/a + 1/b +1/c = 4/n
suy ra n(ab+bc+ca)=4abc (1)
bài toán trên trở thành chứng minh phương trình (1) luôn tồn tại 1cặp nghiệm nguyên(a,b,c)

Mình có lời giải này, nếu có chỗ nào sai thì các bạn góp ý nhé:
Nếu n = 3k. Khi đó:



Nếu n = 3k + 2. Khi đó:



Nếu n = 3k + 1. Khi đó:

Trần Thị Minh Hậu phân số ai cập Phân số Ai Cập là tổng các phần tử phân số riêng biệt, chẳng hạn . Cách đây khoảng 4000 năm, người Ai Cập đã hiểu được phân số và biết các phép tính về phân số. Tuy nhiên, người Ai Cập cổ đại chỉ thừa nhận các phân số có tử bằng 1. Đây là phân số đầu tiên trên thế giới và sử dụng rộng rãi ở Ai Cập    

Định nghĩa phân số ai cập: Những phân số có tử số là 1 thì ta gọi đó là phân số Ai Cập. Dạng tổng quát: 1/ n.

phân số ai cập là gì vậy

mình chưa nghe về phân số Ai Cập

Câu hỏi của Ruxian - Toán lớp 7 - Học toán với OnlineMath

\(\frac{4}{n}=\frac{1}{n}+\frac{3}{n}\)

+) Xét n = 3k ( k là số tự nhiên > 1)

\(\frac{4}{n}=\frac{n+1}{n\left(n+1\right)}+\frac{3}{n}=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n\left(n+1\right)}+\frac{3}{n}=\frac{1}{3k+1}+\frac{1}{3k\left(3k+1\right)}+\frac{1}{k}\)

+) Xét n = 3k + 1:

\(\frac{4}{n}=\frac{1}{n}+\frac{3}{n}=\frac{1}{n}+3.\left(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n\left(n-1\right)}\right)=\frac{1}{n}+\frac{3}{n-1}-\frac{3}{n\left(n-1\right)}=\frac{1}{3k+1}+\frac{3}{3k}+\frac{-3}{3k\left(3k+1\right)}=\frac{1}{3k+1}+\frac{1}{k}+\frac{1}{-k\left(3k+1\right)}\)

+) Xét n = 3k + 2:

\(\frac{4}{n}=\frac{1}{n}+\frac{3}{n}=\frac{1}{n}+3.\left(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n\left(n+1\right)}\right)=\frac{1}{n}+\frac{3}{n+1}+\frac{3}{n\left(n+1\right)}=\frac{1}{3k+2}+\frac{1}{k+1}+\frac{1}{\left(3k+2\right).\left(k+1\right)}\)

Vậy Với mọi n > 4 thì 4/ n đều phân tích thành tổng của 3 phân số khác nhau có dạng 1/n 

=> đpcm