Để \(n^2+n+1589\) là số chính phương thì \(n^2+n+1589=a^2\left(a\in Z\right)\)

\(\Leftrightarrow4n^2+4n+6356=4a^2\)

\(\Leftrightarrow\left(4n^2+4n+1\right)+5355=\left(2a\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\left(2n+1\right)^2-\left(2a\right)^2=-5355\)

\(\)\(\Leftrightarrow\left(2n-2a+1\right)\left(2n+2a+1\right)=-5355\)

Từ đây xét 2n - 2a + 1 ; 2n + 2a + 1 là các ước của - 5355 là ra

\(n^2+n+1589\)

\(n^2+n+1589=m^2\)

\(\Rightarrow\left(4n^2+1\right)^2+6355=4m^2\)

\(\Leftrightarrow\left(2m+2n+1\right)\left(2m-2n-1\right)=6355\)

\(2m+2n+1>2m-2n-1>0\)

Ta viết:\(\left(2m+2n+1\right)\left(2m-2n-1\right)=6355\cdot1=1271\cdot5=205\cdot31=155\cdot414\)

\(\Rightarrow n=\text{ 1588,316,43,28}\)

Ta có: \(n^4+n^3+n^2=n^2\left(n^2+n+1\right)\)

Theo đề ra thì \(n^2\left(n^2+n+1\right)\) mà \(n^2\)là một số chính phương \(\Rightarrow n^2+n+1\)là 1 số chính phương.

Gọi \(n^2+n+1=k^2\) =>\(4n^2+4n+1+3\)= \(4k^2\)

=> \(\left(2n+1\right)^2+3=4k^2\) => \(\left(2k-2n-1\right)\left(2k+2n+1\right)=3\)

\(\Leftrightarrow2k-2n-1;2k+2n+1\inƯ\left(3\right)=\left\{3;1;-3;-1\right\}\)Và \(2k-2n-1;2k+2n+1\)phải đồng âm hoặc đồng dương,

Ta có bảng sau: 

Vậy n thỏa mãn đề bài là n=0 hoặc n=-1