Kĩ thuật gì đâu-_-

\(A=\Sigma_{cyc}\frac{a^2}{b^2+1}=\Sigma_{cyc}a^2\left(1-\frac{b^2}{b^2+1}\right)\)

\(\ge\Sigma_{cyc}a^2\left(1-\frac{b}{2}\right)=\Sigma_{cyc}a^2-\Sigma_{cyc}\frac{a^2b}{2}\)

\(=\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)+\left[\left(a^2+b^2+c^2\right)-\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)\right]}{2}\)

\(=\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)+\frac{\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)-3\left(a^2+b^2+c^2\right)}{3}}{2}\)

\(=\frac{a^2+b^2+c^2+a\left(a-b\right)^2+b\left(b-c\right)^2+c\left(c-a\right)^2}{2}\)

\(\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{6}=\frac{3}{2}\)

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c 

Lộn: a = b = c = 1 nha:v

Lộn nữa -_-

\(=\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)+\frac{a\left(a-b\right)^2+b\left(b-c\right)^2+c\left(c-a\right)^2}{3}}{2}\)

Rồi còn lại y chang

P = 4a + 7b + 10c + \(\frac{4}{a}+\frac{1}{4b}+\frac{1}{9c}\)

P = \(3\left(a+2b+3c\right)+\left(a+\frac{4}{a}\right)+\left(b+\frac{1}{4b}\right)+\left(c+\frac{1}{9c}\right)\)

\(\ge3.4+2\sqrt{a.\frac{4}{a}}+2\sqrt{b.\frac{1}{4b}}+2\sqrt{c.\frac{1}{9c}}=\frac{53}{3}\)

Vây GTNN của P là \(\frac{53}{3}\)khi  \(a=1;b=\frac{1}{2};c=\frac{1}{3}\)

n=2 mới đúng

quên a=2 mới đúng, vì bđt côsi đ/k là a=b

Ta có :

\(\frac{3a-2b}{5}=\frac{2c-5a}{3}=\frac{15a-10b}{25}=\frac{6c-15a}{9}\)

\(=\frac{15a-10b+6c-15a}{25+9}=\frac{6c-10b}{34}=\frac{3c-5b}{17}=\frac{5b-3c}{2}\) = 0

=> a+b+c = 5a = - 50 => a = -10; b = -15 ; c = -25

Lời giải :

Đặt \(\hept{\begin{cases}a+2b+c=x\\a+b+2c=y\\a+b+3c=z\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=-x+5y-3z\\b=x-2y+z\\c=z-y\end{cases}}\)

Thay vào P ta được :

\(P=\frac{-x+5y-3z+3z-3y}{x}+\frac{4x-8y+4z}{y}+\frac{-8z+8y}{z}\)

\(P=-1+\frac{2y}{x}+\frac{4x}{y}-8+\frac{4z}{y}-8+\frac{8y}{z}\)

\(P=-17+\left(\frac{2y}{x}+\frac{4x}{y}\right)+\left(\frac{4z}{y}+\frac{8y}{z}\right)\)

Áp dụng BĐT Cô-si :

\(P\ge-17+2\sqrt{\frac{2y\cdot4x}{x\cdot y}}+2\sqrt{\frac{4z\cdot8y}{x\cdot z}}\)

\(=-17+2\sqrt{8}+2\sqrt{32}\)

\(=-17+12\sqrt{2}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{2y}{x}=\frac{4x}{y}\\\frac{4z}{y}=\frac{8y}{z}\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}2x^2=y^2\\z^2=2y^2\end{cases}}\)

Thay a,b,c vào tìm ra dấu "=" nhé. Khá dài và phức tạp đấy.

Ai ti-ck sai ra đây nói chuyện nào ?

em ti-ck đúng cho anh rùi nhé!! (^.^)

có rất nhiều cách ngắn bn ạ, quan trọng mình làm bn hiểu ko thôi, cho biết lớp của bn để mk xài cách ngắn nhất mà hiệu quả nhất

Ko mất tính tổng quát !! giả sử \(a\ge b\ge c\ge d\)

Từ đó suy ra

\(2a\ge b+c\Leftrightarrow2\ge\frac{b+c}{a}\Leftrightarrow\frac{1}{2}\le\frac{a}{b+c}\left(1\right)\)

CM tương tự ta cx có : \(\hept{\begin{cases}\frac{b}{c+d}\ge\frac{1}{2}\left(2\right)\\\frac{c}{d+a}\ge\frac{1}{2}\left(3\right)\\\frac{d}{a+b}\ge\frac{1}{2}\left(4\right)\end{cases}}\)

Cộng \(\left(1\right);\left(2\right);\left(3\right);\left(4\right)\)lại ta đc đpcm

Từ đó xét tiếp các trường hợp \(a\ge c\ge b\ge d;c\ge a\ge b\ge d....\) ta cx đc đpcm