bài 1 Cho x2+\(\frac{1}{x^2}\) =14 với x>0. Chứng minh rằng x5+\(\frac{1}{x^5}\) là số nguyên. Tìm số nguyên đó
bài 2 Cho 3 số x,y,z thỏa điều kiện: x+y+z=0 và xy+yz+zx=0. Hãy tính giá trị của biểu thức L=(x-1)2011 +y2012+(z+1)2013
\(\text{cho x,y,z là các số thực khác 0 và thỏa mãn điều kiện xy+yz+zx=0. Tính giá trị của biểu thức A= }\dfrac{x+y}{z}+\dfrac{y+z}{x}+\dfrac{x+z}{y}\)
\(\dfrac{x+y}{z}+\dfrac{y+z}{x}+\dfrac{x+z}{y}=\dfrac{x^2y+xy^2+y^2z+yz^2+x^2z+xz^2}{xyz}=\dfrac{-3xyz}{xyz}=-3\)
đề cho xy+yz+xz=0 nhân cả 2 vế với -z
=>-xyz-\(z^2\left(y+x\right)\)=0
=>-xyz=\(z^2x+z^2y\)
cmtt bạn nhân với -y và -z
=>-3xyz=\(x^2y+xy^2+y^2z+yz^2+x^2z+xz^2\)
1, Cho a,b các số thực khác 0. Chứng minh: \(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\ge\frac{2}{ab}\)
2, Cho x,y,z là các số thực khác 0 thỏa mãn: \(x+y+z+xy+yz+zx=6xyz\).Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(P=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\)
\(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\ge\frac{2}{ab}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{a^2}-\frac{2}{ab}+\frac{1}{b^2}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow Q.E.D\)
Dấu "=" xảy ra khi a=b
\(gt\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}=6\)
Đặt \(\frac{1}{x}=a,\frac{1}{y}=b,\frac{1}{z}=c\)thì \(P=a^2+b^2+c^2\)và \(a+b+c+ab+bc+ca=6\)
Giải:
Ta có: \(x^2+1\ge2\sqrt{x^2\cdot1}=2x\)
Tương tự rồi cộng theo vế ta được: \(x^2+y^2+z^2+3\ge2\left(x+y+z\right)\)(1)
Lại có: \(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\Leftrightarrow2\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge2\left(xy+yz+zx\right)\)(2)
Cộng (1), (2) theo vế ta được:
\(3P+3\ge2\left(x+y+z+xy+yz+zx\right)=2\cdot6=12\)
\(\Rightarrow3P\ge9\Leftrightarrow P\ge3\)
MinP = 3 khi a = b = c = 1 hay x = y = z = 1
B1 cho các số nguyên a,b,c,d thỏa mãn đồng thời 2 điều kiện sau a+b+c=d+1 và a^2+b^2+c^2=d^2+2d-1 chứng minh rằng (a^2+1)(b^2+1)(c^2+1) là số chính phương
B2 cho biểu thức A=\(\frac{x^2}{y^2+xy}\)-\(\frac{y^2}{x^2-xy}\)-\(\frac{x^2+y^2}{xy}\)(xy\(\ne\)0,y\(\ne\)+-x)
A) rút gọn A
b)tính giá trị của A^2 biết x,y thỏa mãn điều kiện x^2+y^2=3xy
c) chứng minh rằng biểu thức A không nhân giá trị nguyên với mọi giá trị nguyên của x,y thỏa mãn điều kiện ở trên
B3 tìm các cặp số (x;y) thỏa mãn điều kiện 4x^2+2y^2-4xy-16x-2y+41=0
Cho ba số x, y, z thỏa mãn các điều kiện x+ y+ z=0 và xy+ yz+ zx = 0
Tính giá trị của biểu thức sau : P = (x - 1)2003 + y2004 + (z + 1)2005
\(0=\left(x+y+z\right)^2=x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+zx\right)=x^2+y^2+z^2+0\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2=0\)
\(\Rightarrow x=y=z=0\)
\(P=\left(-1\right)^{2003}+0^{2004}+1^{2005}=0\)
Cho 3 số không âm x,y,z thỏa mãn điều kiện: x+y+z=1. Chứng minh rằng:
\(0\le xy+yz+zx-2xyz\le\frac{7}{27}\)
Cho các số thực x, y, z thỏa mãn các điều kiện: \(\hept{\begin{cases}x+y+z=0\\x^2+y^2+z^2=6\\xyz=-1\end{cases}}\)
Tính giá trị biểu thức \(P=\frac{1}{xy\left(1-z\right)-z}+\frac{1}{yz\left(1-x\right)-x}+\frac{1}{zx\left(1-y\right)-y}\)
\(P=\frac{1}{xy-xyz-z}+\frac{1}{yz-xyz-x}+\frac{1}{xz-xzy-y}\) .Do xyz=-z =>-xyz=1 và x+y+z=0 . Thế vào P ta được \(P=\frac{1}{xy+1+x+y}+\frac{1}{yz+1+y+z}+\frac{1}{xz+1+x+z}\)\(P=\frac{1}{\left(x+1\right)\left(y+1\right)}+\frac{1}{\left(y+1\right)\left(z+1\right)}+\frac{1}{\left(x+1\right)\left(z+1\right)}\) =\(\frac{z+1+x+1+y+1}{\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)}\)
\(P=\frac{3}{xyz+z+xz+yz+xy+1+x+y}\) =\(\frac{3}{xy+yz+xz}\) (Do x+y+z=0; xyz=-1)
x+y+z=0 => (x+y+z)2=0 => x2+y2+z2 +2(xy+yz+xz)=0 => 2(xy+yz+xz)=-6 => xy+yz+xz=-3 Thế vào P ta được :
\(P=\frac{3}{-3}=-1\) . Chúc bạn học tốt
Hình như bạn ghi thiếu đề r . Còn xyz=-1 nữa
cho ba số x y z \(\ne\)0 thỏa mãn \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\)hãy tính giá trị biểu thức
P=\(\left(\frac{xy}{z^2}+\frac{yz}{x^2}+\frac{zx}{y^2}-2\right)^{2013}\)
giúp mình với nhé
-cách này khá dài dòng _._ (ko nghĩ đc cách ngắn hơn >: )
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{xy+yz+xz}{xyz}=0\Leftrightarrow xy+yz+xz=0\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}-x.\left(y+z\right)=yz\\-y.\left(x+z\right)=xz\\-z.\left(x+y\right)=xy\end{cases}}\)
thay vào biểu thức P, ta có:
\(P=\left[\frac{-z.\left(y+x\right)}{z^2}+\frac{-x.\left(y+z\right)}{x^2}+\frac{-y.\left(x+z\right)}{y^2}-2\right]^{2013}\)
\(P=\left[\frac{-\left(y+x\right)}{z}+\frac{-\left(y+z\right)}{x}+\frac{-\left(x+z\right)}{y}-2\right]^{2013}\)
\(P=\left(\frac{-x^2y-xy^2-zy^2-yz^2-zx^2-xz^2}{xyz}-\frac{2xyz}{xyz}\right)^{2013}\)
\(P=\left[\left(\frac{-x^2y-zx^2}{xyz}\right)+\left(\frac{-xy^2-zy^2}{xyz}\right)+\left(\frac{-z^2y-xz^2}{xyz}\right)\right]\)
\(\text{Ta có: }-x^2y-zx^2=-x^2.\left(y+z\right),\text{mà }-x.\left(y+z\right)=yz\Rightarrow-x^2.\left(y+z\right)=xyz\)
tương tự: \(-xy^2-zy^2=xyz\text{ và }-z^2y-z^2x=xyz\)
\(\Rightarrow P=\left(\frac{3xyz-2xyz}{xyz}\right)^{2013}=1^{2013}=1\)
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\Rightarrow\frac{xy+yz+zx}{xyz}=0\Rightarrow xy+yz+zx=0\Rightarrow x^3y^3+y^3z^3+z^3x^3=3x^2y^2z^2\) (cách cm Câu hỏi của Arthur Conan Doyle - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath)
Vậy\(P=\left(\frac{xy}{z^2}+\frac{yz}{x^2}+\frac{zx}{y^2}-2\right)^{2013}=\left(\frac{x^3y^3+y^3z^3+z^3x^3}{x^2y^2z^2}-2\right)^{2013}=\left(3-2\right)^{2013}=1\)
Cho x,y,z là các số thực khác 0 thỏa mãn: xy+ yz+ xz=0.
Tính giá trị biểu thức:
M=\(\frac{yz}{x^2}+\frac{zx}{y^2}+\frac{xy}{z^2}\)
ta có xy+yz+zx=0=> \(\frac{xy+yz+zx}{xyz}=0\)
\(\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\)
đặt \(\frac{1}{x}=a,\frac{1}{y}=b,\frac{1}{z}=c\Rightarrow a+b+c=0\)
ta xét \(a^3+b^3+c^3-3abc=a^3+b^3+3ab\left(a+b\right)+c^3-3ab-3abc\)
\(=\left(a+b\right)^3+c^3-3ab\left(a+b+c\right)=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac\right)=0\)
=> \(a^3+b^3+c^3=3abc\) \(\Rightarrow\frac{1}{x^3}+\frac{1}{y^3}+\frac{1}{z^3}=\frac{3}{xyz}\)
=> \(M=\frac{yz}{x^2}+\frac{zx}{y^2}+\frac{xy}{z^2}=\frac{xyz}{x^3}+\frac{xyz}{y^3}+\frac{xyz}{z^3}=xyz\left(\frac{1}{x^3}+\frac{1}{y^3}+\frac{1}{z^3}\right)=xyz.\frac{3}{xyz}=3\)
=> M=3
1. Cho x,y,z là ba số dương thay đổi và thỏa mãn \(^{x^2+y^2+z^2\le xyz}\)
Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(A=\frac{x}{x^2+yz}+\frac{y}{y^2+zx}+\frac{z}{z^2+xy}\)
2. Cho x,y,z là các số thực không âm thỏa mãn \(x^2+y^2+z^2=3\)
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(B=xy+yz+zx+\frac{5}{x+y+z}\)