Ta chỉ viết được bội của 2011 bởi toàn chữ số 1 và chữ số 0 khi 2011*n và n=1.. để có số 1; và n=5.... để có số 0

*﴿Nếu n=1.... thì 1*1=1 nhưng 1*2=2 có số 2﴾loại﴿

*﴿nếu n=5 thì 0*5=0 nhưng 5*1=5 có số 5﴾loại﴿

Vậy không tồn tại STN thỏa mãn đề

Xét 2010 số tự nhiên được viết bởi toàn các chữ số 2

A1=2

A2=22

..................

A2010=222......22 (Gồm 2010 chữ số 2)

Giả sử không có số nào trong dãy số trên chia hết cho 2010 thì số dư của các số trên khi chia cho 2010 lần lượt là

1; 2; 3; .......;2009

Như vậy theo nguyên lý Dirichlet sẽ tồn tại ít nhất 2 số khi chia cho 2010 có cùng số dư, giả sử là

An=222.....22 (có n chữ số 2)

Am=2222...22222 (có m chữ số 2)

Giả sử m>n thì Am-An=2222...000 (có m-n chữ số 2 và n chữ số 0) chia hết cho 2010 (dpcm)

Vì khi tồn tại 2 số mà khi chia cho cùng 1 số có cùng số dư thì hiệu của chúng chia hết cho số đó

đáp án là 14 chữ số 1 từ đó cậu tự chứng minh nhé

Trong 1989 số được tạo bởi toàn chữ số 1

1

11

.......

1111...11 (1989 chữ số 1)

Khi lần lượt chia các số này cho 1989 ta sẽ có nhiều nhất 1989 phép chia có dư mà số dư của các phép chia này nằm trong khoảng từ 1 đến 1988. Theo nguyên lý Dirichlet thì sẽ có ít nhất 2 số khi chia cho 1989 có cùng số dư.

Giả sử ta có 2 số là số A có m chữ số 1 và số B có n chữ số 1 khi chia cho 1989 có cùng số dư và giả sử m>n

\(\Rightarrow A-B=C⋮1989\)

\(\Rightarrow C=1111...00\) (có m-n chữ số 1 và n chữ số 0) chia hết cho 1989 (dpcm)