Cho 2 số thực x,y thỏa mãn (x+ căn (x^2+1))(y+ căn (y^2+1))=1=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M =10x4 +8y4-15xy+6x2 +5y2+2017.
Cho 2 số thực dương x,y thỏa mãn x+y=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
Q=x/ căn (1-x) + y/ căn (1-y)
cho x y z là ba số thực thay đổi thỏa mãn điều kiện x+y+z=3
tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P= 1/căn x+ 1/căn y+ 1/căn z
Áp dụng BĐT Cô-si, ta có :
\(P=\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{z}}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{\sqrt{xyz}}}\)
Mặt khác, ta có : \(\sqrt[3]{xyz}\le\frac{x+y+z}{3}=1\)
\(\Rightarrow P\ge3\)
Vậy GTNN của P là 3 khi x = y = z = 1
Cách đơn giản hơn cách của anh Tùng:) sửa nốt là thực dương :V
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có :
\(P=\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{z}}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}=\frac{9}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\)
Xét bđt phụ \(x+y+z\ge\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\)với x,y,z > 0 ( cấy ni thì dễ rồi nhân 2 vào cả 2 vế chuyển vế là xong )
\(\Rightarrow P\ge\frac{9}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\ge\frac{9}{x+y+z}=\frac{9}{3}=3\)
Dấu "=" xảy ra <=> x=y=z=1
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel kết hợp bất đẳng thức phụ \(x+y+z\ge\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\)ta có :
\(P\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}=\frac{9}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\ge\frac{9}{x+y+z}=\frac{9}{3}=3\)
Dấu "=" xảy ra <=> x=y=z=1
Cho các số thực x, y thỏa mãn x + y=2(\(\sqrt{x+3}+\sqrt{y+3}\)). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=4(\(x^2+y^2\)) +15xy
cho các số thực dương x, y thỏa mãn x2 +y2 = 2 .tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức F=x2/căn y +y2/căn x
Cho các số thực dương x,y thoả mãn: (x+y-1)^2= xy . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=1/xy + 1/x^2+y^2 + căn(xy)/x+y
Cho 2 số thực dương x;y thỏa mãn \(2\sqrt{xy}+\frac{x}{3}=1\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
\(P=\frac{y}{x}+\frac{4x}{3y}+15xy\)
Cho các số thực x,y thỏa mãn : x + y = căn(x+1) + căn(y+1) . Tìm giá trị nhỏ nhất , giá trị lớn nhất ( nếu có ) P = x + y + 2020
Cho các số thực x,y thỏa mãn : x + y = căn(x+1) + căn(y+1) . Tìm giá trị nhỏ nhất , giá trị lớn nhất ( nếu có ) P = x + y + 2020
Cho 2 số dương x,y thỏa mãn : x^2 + y^2 =8 . Tìm giá trị nhỏ nhất P = căn(x^3+1) + căn(y^3+1)