n²+n+1 = n(n+1) + 1

vì n(n+1) là tích của hai số tự nhiên liên tiếp nên n(n+1) + 1 là số lẻ 

n(n+1) + 1 ko chia hết cho 4 (ĐPCM)

vì tích hai số liên tiếp có tận cùng là 0;2;6

=> n(n+1) có tận cùng 1 trong số 0;2;6 => n(n+1) +1 có tận cùng 1 trong số 1;3;7 ko chia hết cho 5(đpcm)

Giả sử như mệnh đề trên đúng : 
n^2+1 chia hết cho 4 
* Nếu n chẵn : n = 2k , k thuộc N 
=> n^2 +1 = 4k^2 +1 k chia hết cho 4 
* nếu n lẻ : n = 2k + 1 
=> n^2 +1 = 4k^2 +4k +2 
=> n^2 +1 = 4k(k+1)+2 
k , k +1 là 2 số tự nhiên liên tiếp 
=> k(k+1) chia hết cho 2 
=> 4k(k+1)chia hết cho 4 
=> 4k(k+1)+2 chia cho 4 , dư 2 
=> 4k (k+1)+2 k chia hết cho 4

n^2 + n = n.(n+1) . Tích của 2 số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 2 nên khi +1 sẽ ko chia hết cho 2 -> ko thể chia hết cho 4

Xét tận cùng của tích 2 số tự nhiên liên tiếp :

...0 . ...1 = ...0             ....5 . ....6 = ....0

...1 . ...2 = ...2            ....6 . .....7 = .....2

...2 . ....3= ...6           ....7 . .....8 = .....6

...3 . ....4 = ...2           ....8 . .....9 = .....2

...4 . ...5 = ....0           ....9 .  ....0 = .....0

Kết luận đc tích 2 số tự nhiên liên tiếp phải có tân cùng là 0 ,2 ,6 . Khi + 1 thì tân cùng là 1, 3,7 khác 0 và 5 nên ko chia hết cho 5

Ta có : n² + n + 1 = n. ( n + 1) + 1

Vì n. ( n + 1) + 1 là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 2 => n. ( n + 1) + 1 là 1 số lẻ nên không chia hết cho 4

n. ( n + 1) + 1 không có chữ số tận cùng là 4 và 9 nên không tận cùng là 0 và 5 nên không chia hết cho 5

a, A= (n+2)^2 + 1

Vì số cp chia 8 dư 0 hoặc 1 hoặc 4 => A=(n+2)^2 + 1 chia 8 dư 1 hoặc 2 hoặc 5

=> A ko chia hết cho 8

b, n lẻ nên n có dạng 2k+1(k thuộc N)

<=> 5^n = 5^2k+1= = 5^2k . 5 =  (4+1)^2k  .  5  =  (Bội của 4 +1) . 5 = Bội của 4 +5 chia 4 dư 1

=> B = 5^n - 1 chia hết cho 4