\(\frac{14-x}{x-4}=\frac{x-4+18}{x-4}=1+\frac{18}{x-4}\ge1\)

Min phân số trên là \(1\Leftrightarrow x-4>0\Rightarrow x>4\)

Đặt \(A=k^4-8k^3+23k^2-26k+10\)

\(=k^3\left(k-1\right)-7k^2\left(k-1\right)+16k\left(k-1\right)-10\left(k-1\right)\)

\(=\left(k-1\right)\left(k^3-7k^2+16k-10\right)\)

\(=\left(k-1\right)\left[k^2\left(k-1\right)-6k\left(k-1\right)+10\left(k-1\right)\right]\)

\(=\left(k-1\right)^2\left(k^2-6k+10\right)\)

Để A là số chính phương thì \(k^2-6k+10\) là số chính phương hoặc \(\orbr{\begin{cases}k-1=0\\k^2-6k+10=0\end{cases}}\)

-Nếu k² - 6k + 10 là số chính phương thì ta đặt \(k^2-6k+10=t^2\left(t\in Z\right)\)

\(\Rightarrow\left(k-3\right)^2+1=t^2\)

\(\Rightarrow\left(k-3\right)^2-t^2=-1\)

\(\Rightarrow\left(k-t-3\right)\left(k+t-3\right)=-1\)

Vì k,t là số nguyên nên ta có: 

\(TH1:\hept{\begin{cases}k-t-3=-1\\k+t-3=1\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}k-t=2\\k+t=4\end{cases}\Rightarrow k=\left(2+4\right):2=3}\)

\(TH2:\hept{\begin{cases}k-t-3=1\\k+t-3=-1\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}k-t=4\\k+t=2\end{cases}\Rightarrow}k=\left(4+2\right):2=3\)

-Nếu \(\orbr{\begin{cases}k-1=0\\k^2-6k+10=0\end{cases}}\)

Mà \(k^2-6k+10=\left(x-3\right)^2+1>0\forall x\)

\(\Rightarrow k-1=0\Rightarrow k=1\) (thỏa mãn)

Vậy \(k\in\left\{1;3\right\}\)

Đặt \(B=k^4-8k^3+23k^2-26k+10\)

\(=\left(k^4-2k^2+1\right)-8k\left(k^2-2k+1\right)+9k^2-18k+1\)

\(=\left(k^2-1\right)^2-8k\left(k-1\right)^2+9\left(k-1\right)^2\)

\(=\left(k-1\right)^2\left[\left(k-3\right)^2+1\right]\)

Vì B là SCP

\(\Rightarrow\left(k-1\right)^2=0\)hoặc \(\left(k-3\right)^2+1\)là SCP

\(TH1:\left(k-1\right)^2=0\Rightarrow k-1=0\Rightarrow k=1\)

\(TH2:\left(k-3\right)^2+1\)

Đặt \(\left(k-3\right)^2+1=n^2\left(n\inℤ\right)\)

\(\Leftrightarrow n^2-\left(k-3\right)^2=1\)

\(\Leftrightarrow\left(n-k+3\right)\left(n+k-3\right)=1\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}n-k+3=1\\n+k-3=1\end{cases}}\)

hoặc \(\hept{\begin{cases}n-k+3=-1\\n-k+3=-1\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}n=1;k=3\\n=-1;k=3\end{cases}}\Rightarrow k=3\)

Vậy ....

Ta có: 

A = k4 + 2k³ - 16k² - 2k + 15 

= k4 + 5k³ - 3k³ - 15k² - k² - 5k + 3k + 15 

= ( k³ - 3k² - k + 3 ).( k + 5) 

= (k² - 1).(k - 3).(k + 5) 

Để A ⁞ 16 

thì có nhiều trường hợp xảy ra. 

TH1: A = 0 <=> k = { ±1 ; 3 ; - 5} 

TH2: 

Với k là số lẻ thì (k² - 1 ) ⁞ 8 

cái này mình sẽ cm: 

k² - 1 = (k - 1).(k + 1) 

Với k là số lẻ thì k -1 và k + 1 là 2 số chẵn liên tiếp. Trong đó có 1 số chia hết cho 2 và 1 số chia 

hết cho 4 => (k - 1).(k + 1) ⁞ 8 

Đồng thời, với k lẻ thì k -1 hoặc k + 5 đều chia hết cho 2. 

=> Tích sẽ chia hết cho 8 x 2 = 16 

Vậy A ⁞ 16 <=> k là số lẻ. 

Dễ thấy, TH2 bao hàm TH1 => Ta kết luận k là số lẻ thì A ⁞ 16 

***Kiểm tra: 

Với k là số chẵn => (k² - 1) là số lẻ 

k - 3 là số lẻ 

k + 5 cũng là số lẻ 

=> A = (k² - 1).(k - 3).(k + 5) là số lẻ ko chia hết cho 16.