m²+2014=n²

=>n²-m²=2014

=>(n-m)(n+m)=2014=2014*1=1007*2=19*53

m thuoc N => n+m>n-m 

TH1:n-m=1;n+m=2014 =>m=1006.5(loai)

TH2:n-m=2;n+m=1007 => m=502.5(loai)

TH3;n-m=19;n+m=53 =>m=17

KL:m=17

Với n = 1 thì 1! = 1 = 1² là số chính phương . 
Với n = 2 thì 1! + 2! = 3 không là số chính phương 
Với n = 3 thì 1! + 2! + 3! = 1+1.2+1.2.3 = 9 = 3² là số chính phương 
Với n ≥ 4 ta có 1! + 2! + 3! + 4! = 1+1.2+1.2.3+1.2.3.4 = 33 còn 5!; 6!; …; n! đều tận cùng bởi 0 do đó 1! + 2! + 3! + … + n! có tận cùng bởi chữ số 3 nên nó không phải là số chính phương . 
Vậy có 2 số tự nhiên n thỏa mãn đề bài là n = 1; n = 3.

Lời giải:

Đặt $n+1995=a^2, n+2014=b^2$ với $a,b\in\mathbb{N}$

Khi đó:

$(n+2014)-(n+1995)=b^2-a^2$

$\Leftrightarrow 19=b^2-a^2=(b-a)(b+a)$

Vì $b,a$ là 2 số tự nhiên nên $b+a> b-a$. Vì $b+a>0, (b+a)(b-a)=19>0$ nên $b-a>0$

Suy ra $b+a=19; b-a=1$

$\Rightarrow b=10$

$\Rightarrow n+2014=b^2=10^2=100\Rightarrow n=-1914$

c đề thiếu 

thiếu gì vậy bạn

Bạn ơi, cái câu b đấy

Minh tính đc A=2²⁰¹⁶-1. 

2²⁰¹⁶=(2¹⁰⁰⁸)² là chính phương. Tuiy nhiên ko tồn tại 2 số chính phương liên tiếp là 2 số tự nhiên liên tiếp. Bạn xem lại đề bài nha

...

Nếu n là số nguyên và   \(n^2+2014=k^2\)  (k nguyên).

\(\Rightarrow\)                                 \(k^2-n^2=2014\)

\(\Rightarrow\)               \(\left(k+n\right)\left(k-n\right)=2014\)

Nếu k và n là 2 số nguyên thì k+n và k-n sẽ cùng chẵn hoặc cùng lẻ.

Vì tích của k+n và k-n là số chẵn. Nên k+n và k-n sẽ cùng là hai số chẵn. Vì tích của hai số chẵn luôn chia hết cho 4. Nhưng 2014 không chia hết cho 2014.

Vậy không có   \(n\in Z\) thỏa mãn đề bài.