\(A=x^2+y^2+xy=\left(x+y\right)^2-2xy+xy\\ A=1-xy\)

Mà \(x+y=1\Leftrightarrow x=1-y\)

\(\Leftrightarrow A=1-\left(1-y\right)y=1-y+y^2=\left(y^2-y+\dfrac{1}{4}\right)+\dfrac{3}{4}\\ A=\left(y-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}\ge\dfrac{3}{4}\\ A_{min}=\dfrac{3}{4}\Leftrightarrow x=y=\dfrac{1}{2}\)

x, y là 2 STN liên tiếp \(\Rightarrow y=x+1\)

\(\Rightarrow\left(x+1\right)^2-x^2>20\Rightarrow2x>19\Rightarrow x>\dfrac{19}{2}\)

\(\Rightarrow x_{min}=10\Rightarrow y_{min}=11\)

\(\Rightarrow\) GTNN của \(x^2+y^2\) là \(10^2+11^2=221\)

Lời giải:
Áp dụng BĐT Cô-si:

$\frac{1}{x(x+1)}+\frac{x}{2}+\frac{x+1}{4}\geq 3\sqrt[3]{\frac{1}{x(x+1)}.\frac{x}{2}.\frac{x+1}{4}}=\frac{3}{2}$

Tương tự:

$\frac{1}{y(y+1)}+\frac{y}{2}+\frac{y+1}{4}\geq \frac{3}{2}$

$\frac{1}{z(z+1)}+\frac{z}{2}+\frac{z+1}{4}\geq \frac{3}{2}$

Cộng theo vế các BĐT trên:

$\frac{1}{x^2+x}+\frac{1}{y^2+y}+\frac{1}{z^2+z}+\frac{3}{4}(x+y+z)+\frac{3}{4}\geq \frac{9}{2}$

$\frac{1}{x^2+x}+\frac{1}{y^2+y}+\frac{1}{z^2+z}+\frac{9}{4}+\frac{3}{4}\geq \frac{9}{2}$

$\Rightarrow \frac{1}{x^2+x}+\frac{1}{y^2+y}+\frac{1}{z^2+z}\geq \frac{3}{2}$ 

Vậy gtnn của biểu thức là $\frac{3}{2}$ khi $x=y=z=1$

a) Ta có:

x-y=0 (1)

\(M=7x-7y+4ax-4ay\)

\(M=7\cdot\left(x-y\right)+4a\cdot\left(x-y\right)\) (2)

Thay (1) vào (2), ta được

\(M=7\cdot0+4a\cdot0\)

\(M=0+0\)

\(M=0\)

Vậy M=0