Ta có : 3m² + m = 4n2 + n 
tương đương với 4(m² - n2) + (m - n) = m² 
hay là (m - n)(4m + 4n + 1) = m² (*)

Gọi d là ước chung lớn nhất của m - n và 4m + 4n + 1 thì (4m + 4n + 1) + 4(m - n) chia hết cho d => 8m + 1 chí hết cho d.

Mặt khác, từ (*) ta có : m² chia hết cho d² => m chia hết cho d.

Từ 8m + 1 chia hết cho d và m chia hết cho d ta có 1 chia hết cho d => d = 1.

Vậy m - n và 4m + 4n + 1 là các số tự nhiên nguyên tố cùng nhau, thỏa mãn (*) nên chúng đều là các số chính phương. 

3m²+m=4n²+n

=>(m-n)(4m+4n+1)=m²(1)(phân tích ra là về cái ban đầu nhé)

Gọi d là 1 ước chung của m-n và 4m+4n+1

=>(m-n)(4m+4n+1) chia hết cho d.d=d²

Từ (1) =>m² chia hết cho d²

=>m chia hết cho d

Mà m-n cũng chia hết cho d => n chia hết cho d

=>4m+4n+1 chia d dư 1(vô lí vì d được giả sử là ước của 4m+4n+1)

=>4m+4n+1 và m-n nguyên tố cùng nhau

 khi phân tích a hoặc b có thừa số nguyên tố p với mũ lẻ mà 2 số này nguyên tố cùng nhau nên số còn lại không chưa p =>m² bằng tích của p với 1 số khác p.Mà m² là số chính phương nên điều trên là vô lí

=>m-n và 4m+4n+1 phải cùng là số chính phương(ĐPCM)

Hơi khó hiểu nhưng đúng đó Đây là mình cố giải thích cho bạn chứ thực ra k có dòng giải thích dài dài kia đâu

Khó lắm

giải :

Ta có : 3m² + m = 4n2 + n 
tương đương với 4(m² - n2) + (m - n) = m² 
hay là (m - n)(4m + 4n + 1) = m² (*)

Gọi d là ước chung lớn nhất của m - n và 4m + 4n + 1 thì (4m + 4n + 1) + 4(m - n) chia hết cho d => 8m + 1 chí hết cho d.

Mặt khác, từ (*) ta có : m² chia hết cho d² => m chia hết cho d.

Từ 8m + 1 chia hết cho d và m chia hết cho d ta có 1 chia hết cho d => d = 1.

Vậy m - n và 4m + 4n + 1 là các số tự nhiên nguyên tố cùng nhau, thỏa mãn (*) nên chúng đều là các số chính phương. 

câu trả lời này ở trên mạng đó!!!!

bài này mà toán lớp 6 à lạ thật

Để giải được bài toán sau thì ta liên tưởng đến một tính chất rất đặc biệt và hữu ích được phát biểu như sau:

\("\) Nếu  \(a,b\)  là hai số tự nhiên nguyên tố cùng nhau và  \(a.b\)  là một số chính phương thì \(a\)  và  \(b\) đều là các số chính phương  \("\)

Ta có:

\(4m^2+m=5n^2+n\)

\(\Leftrightarrow\)  \(4m^2+m-5n^2-n=0\)

\(\Leftrightarrow\)  \(5m^2-5n^2+m-n=m^2\)

\(\Leftrightarrow\)  \(5\left(m^2-n^2\right)+\left(m-n\right)=m^2\)

\(\Leftrightarrow\)  \(\left(m-n\right)\left(5m+5n+1\right)=m^2\)  \(\left(\text{*}\right)\)

Gọi  \(d\)  là ước chung lớn nhất của  \(m-n\)  và   \(5m+5n+1\)  \(\left(\text{**}\right)\), khi đó:

\(m-n\)  chia hết cho  \(d\)   \(\Rightarrow\)  \(5\left(m-n\right)\)  chia hết cho  \(d\)

\(5m+5n+1\)  chia hết cho  \(d\)

nên   \(\left[\left(5m+5n+1\right)+5\left(m-n\right)\right]\)  chia hết cho  \(d\)

\(\Leftrightarrow\)   \(10m+1\)  chia hết cho  \(d\)   \(\left(1\right)\)

Mặt khác, từ  \(\left(\text{*}\right)\), với chú ý cách gọi ở \(\left(\text{**}\right)\), ta suy ra được:  \(m^2\)  chia hết cho  \(d^2\)

Do đó,  \(m\)  chia hết cho  \(d\)

  \(\Rightarrow\)   \(10m\)  chia hết cho  \(d\)   \(\left(2\right)\)

Từ  \(\left(1\right)\)  và  \(\left(2\right)\), ta có  \(1\)  chia hết cho  \(d\)  \(\Rightarrow\)  \(d=1\)

Do đó,  \(m-n\)  và  \(5m+5n+1\)  là các số tự nhiên nguyên tố cùng nhau  

Kết hợp với  \(\left(\text{*}\right)\)  và điều mới chứng minh trên, thỏa mãn tất cả các điều kiện cần thiết ở tính chất nêu trên nên ta có đpcm

Vậy,   \(m-n\)  và  \(5m+5n+1\)  đều là các số chính phương.

Ta có : 

\(4m^2+m=5n^2+n\)

\(\Leftrightarrow5m^2+m=5n^2+n+m^2\)

\(\Leftrightarrow5\left(m^2-n^2\right)+\left(m-n\right)=m^2\)

\(\Leftrightarrow\left(m-n\right)\left(5m+5n+1\right)=m^2\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}m-n⋮d\\5m+5n+1⋮d\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}m^2=\left(m-n\right)\left(5m+5n+1\right)⋮d^2\\5\left(m-n\right)\left(5m+5n+1\right)⋮d\end{cases}}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}m⋮d\\10m+1⋮d\end{cases}\Rightarrow1⋮d\Rightarrow d=1}\)

Vậy \(m-n,5m+5n+1\) nguyên tố cùng nhau . Mà tích của chúng là một số chính phương nên bản thân \(m-n,5m+5n+1\) cũng là số chính phương ( đpcm)

Chúc bạn học tốt !!!