Ta có:

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{c}\Leftrightarrow\left(a+b\right)c=ab\Leftrightarrow ab-bc-ab=0\)

Hay \(ab-bc-ab+c^2=c^2\Leftrightarrow\left(b-c\right)\left(a-c\right)=c^2\)

Nếu \(\left(b-c;a-c\right)=d\ne1\Rightarrow c^2=d^2\left(loai\right)\)

Vậy \(\left(b-c;a-c\right)=1\Rightarrow c-b;c-a\) là 2 số chính phương

Đặt \(b-c=n^2;a-c=m^2\)

\(\Rightarrow a+b=b-c+a-c+2c=m^2+n^2+2mn=\left(m+n\right)^2\) là số chính phương

thực ra đề gốc hỏi x+y có phải là số chính phương hay không, x,y,z thuộc N*, có bạn làm thế này:

\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{z}\Leftrightarrow z.\left(x+y\right)=xy\)

Giả sử x+y là số chính phương. Đặt x+y=k²

mà \(z.\left(x+y\right)=xy\)

\(\Leftrightarrow zk^2=xy\)

Vì x,y là số nguyên tố => 1 trong 2 số chia hết cho k² vì x,y,z thuộc N*

Giả sử x=n.k² (n thuộc N*)

mà \(zk^2=xy\)

\(\Leftrightarrow zk^2=n.k^2.y\Leftrightarrow z=n.y\Leftrightarrow\frac{z}{y}=n\), vì x,y là 2 số nguyên tố cùng nhau => n không thuộc N*(vô lí)

vậy x+y ko phải số chính phương

Bạn đó làm đã đúng chưa, nếu sai hãy sửa lại :v 

Thử, đúng hay sai thì tùy, mình mới học sơ sơ dạng này thôi, nếu sai xin đừng bốc phốt...:v

Theo đề bài\(z\left(x+y\right)=xy\Leftrightarrow x+y=\frac{xy}{z}\) và (x;y;z) = 1

Giả sử x + y là số chính phương khi đó \(\frac{xy}{z}=k^2\left(k\inℕ^∗\right)\Leftrightarrow xy=k^2.z\)

Suy ra xy chia hết cho z. Mà x, y, z nguyên tố cùng nhau nên x và y đều không chia hết cho z.

\(\Rightarrow xy=z\). Khi đó \(\left(x;y;z\right)=1\Leftrightarrow\left(x;y\right)=\left(y;z\right)=1\Leftrightarrow\left(x;y\right)=\left(y;xy\right)=1\) (vô lí vì

\(\left(y;xy\right)=y\))

Vậy ko tồn tại x, y,z..

thế theo bạn, bài bạn kia làm đúng không :)))? 

1/ P = 123456....20132014

Từ 1 - 9 có 9 chữ số

từ 10 -99 có: [[99-10]: 1 + 1]x 2 = 180 chữ số

từ 100 - 999 có: [[999-100]: 1 + 1] x 3 = 2700 chữ số

từ 1000 - 2014 có: [[2014 - 1000]: 1 + 1] x 4 = 4060 chữ số

=> P có: 4060 + 2700 + 180 + 9 = 6949 chữ số

2/ 

n là số n tố > 3 => n lẻ => 2² lẻ

=> n²+ 2015 chia hết cho 2 nên là hợp số

3/

Gọi 1994xy là A. A chia hết cho 72 => A chia hết cho 8 và 9

Vì A chia hết cho 8 nên A chẵn => y E {0; 2; 4; 6; 8}

* nếu y = 0 => x = 4

* nếu y = 2 => x = 2

* nếu y = 4 => x E {0; 9}

* nếu y = 6 => x = 7

* nếu y = 8 => x = 5

Vậy [x,y] = [0;4],[2;2],[4;0 và 9],[6;7],[8;5]

4/

x/9 - 3/ y = 1/18

=> 2x/18 - 3/y = 1/18

=> 3/y = 1/18 - 2x/18

=> 3/y = 1-2x/18

=> y - 2xy = 54=> y[1-2x] = 54

mà 1 - 2x lẻ nên y chẵn

mà y thuộc ước 54 => y E {-2;2;-6;6;-18;18;-54;54}

vậy: [x,y] = [14;-2],[2;-13],[-6;5],[6;-4],[-18;2],[18;-1],[-54;1],[54;0]

5/

Theo đề bài, ta có:

b E BC[14, 21]

mà b nhỏ nhất nên b = 42

=> 14a = 42 . 5

=> a = 15;

=> 21c = 28 . 42

=> c = 56;

từ đó suy ra

6d = 11 . 56

=> d = 308/3

=> d k là số tự nhiên. Vậy a,b,c,d E tập rỗng