Đề : ab + 4bc + ca \(\le\)0 

Có : a + b + c = 0 => a = - b - c

Thay vào ab + 4bc + ca \(\le\)0 ta đc:

(-b - c).b + 4bc + c.(-b - c) \(\le\) 0

=> -b² - bc + 4bc - bc - c² \(\le\)0

=> -b² - c² + 2bc \(\le\)0

=> - (b² - 2bc + c²) \(\le\) 0

=> -(b - c)² \(\le\) 0 (luôn đúng)

Vậy ab + 4bc + ca  \(\le\) 0

abc bằng 0

Ta có : 

\(a+b+c=0\)

\(\Leftrightarrow\)\(\left(a+b+c\right)^2=0^2\)

\(\Leftrightarrow\)\(a^2+b^2+c^2+\left(2ab+2bc+2ac\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\)\(a^2+b^2+c^2=-\left(2ab+2bc+2ac\right)\)

Vì \(a^2+b^2+c^2\ge0\)

Nên \(-\left(2ab+2bc+2ac\right)\ge0\)

\(\Rightarrow\)\(2ab+2bc+2ac\le0\) 

\(\Rightarrow\)\(2\left(ab+bc+ac\right)\le0\)

\(\Rightarrow\)\(ab+bc+ac\le0\) ( đpcm ) 

Công thức lớp 8 chứ ko phải lớp 6 nhé 

Chúc bạn học tốt ~ 

cm bđt ab+bc+ca \(\le\)\(\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\)(biến đổi tương đương )

\(\Rightarrow\)ab+bc+ca \(\le\frac{0^2}{3}=0\)-đpcm

Giảichi tiết gúp mk

Ta có: \(a+b+c=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ac\right)=0\)

Mà  \(a^2+b^2+c^2\ge0\)nên \(2\left(ab+bc+ac\right)\le0\)

\(\Rightarrow ab+bc+ac\le0\left(đpcm\right)\)

Ta có : a + b + c = 0

\( \implies\) b + c = - a ; a + b = - c 

Ta có : ab + 2bc + 3ca 

= ab + 2bc + ca + 2ca 

= ( ab + ca ) + ( 2bc + 2ca )

= a ( b + c ) + 2c ( a + b )

= a ( - a ) + 2c ( - c ) 

= - a² - 2c² 

= - ( a² + 2c² ) ( * )

Mà : a² \(\geq\)  0 ; 2c² \(\geq\)  0 

\( \implies\)  a² + 2c² \(\geq\)  0 ( ** )

Từ ( * ) ; ( ** ) 

\( \implies\)  - ( a² + 2c² )  \(\leq\)  0 

\( \implies\) ab + 2bc + 3ca  \(\leq\)  0 

Xin lỗi mình đăng nhầm 

tao loa

B2: \(\left(a+b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)=4\)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}a+b+c=2\\a+b+c=-2\end{cases}}\)

TH1: \(a+b+c=2\Rightarrow c=2-\left(a+b\right)\)

\(a^2+b^2+c^2=2\)\(\Leftrightarrow a^2+b^2+\left(2-a-b\right)^2=2\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+ab-2\left(a+b\right)+1=0\)

\(\Leftrightarrow a^2+\left(b-2\right)a+b^2-2b+1=0\)

Xem đây là một phương trình bậc hai ẩn a, tham số b.

Để tồn tại a thỏa phương trình trên thì \(\Delta\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(b-2\right)^2-4\left(b^2-2b+1\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow b\left(3b-4\right)\le0\)\(\Leftrightarrow0\le b\le\frac{4}{3}\)

Do vai trò của a, b, c là như nhau nên \(0\le a,b,c\le\frac{4}{3}\)

(hoặc đổi biến thành b và tham số a --> CM được a, rồi thay \(b=2-c-a\) sẽ chứng minh được c)

TH2: \(a+b+c=-2\) --> tương tự trường hợp 1 nhưng kết quả sẽ là 

\(-\frac{4}{3}\le a,b,c\le0\)

Kết hợp 2 trường hợp lại, ta có đpcm.

dễ quá 

dễ quá

mình biêt s

làm đó

De dung la:

\(\Sigma_{cyc}\frac{1}{1+a^2+b^2}\le\frac{9}{5}\)

\(\Leftrightarrow\Sigma_{cyc}\frac{a^2+b^2}{1+a^2+b^2}\ge\frac{6}{5}\)

\(VT\ge\frac{\left(\Sigma_{cyc}\sqrt{a^2+b^2}\right)^2}{2\Sigma_{cyc}a^2+3}\left(M\right)\)

Consider:

\(VT_M\ge\frac{6}{5}\)

\(5\Sigma_{cyc}\sqrt{\left(a^2+b^2\right)\left(b^2+c^2\right)}\ge\Sigma_{cyc}a^2+9\)

Consider:

\(5\Sigma_{cyc}\sqrt{\left(a^2+b^2\right)\left(b^2+c^2\right)}\ge5\Sigma_{cyc}a^2+5\Sigma_{cyc}ab=5\Sigma_{cyc}a^2+5\)

Gio can cung minh:

\(5\Sigma_{cyc}a^2+5\ge\Sigma_{cyc}a^2+9\)

\(\Leftrightarrow\Sigma_{cyc}a^2\ge1\)

Ta lai co:

\(\Sigma_{cyc}a^2\ge\Sigma_{cyc}ab=1\)

Dau '=' xay ra khi \(a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}\)