tao chơi hayyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy tao đó

Áp dụng bđt: a² + b² > = (a + b)²/2

Cm đúng <=> 2a² + 2b² - a² - 2ab - b² > = 0

<=> (a - b)² > = 0 (luôn đúng với mọi a,b

Khi đó, ta có: A = \(\left(1+\frac{1}{x}\right)^2+\left(1+\frac{1}{y}\right)^2\ge\frac{\left(2+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)^2}{2}\)

Áp dụng bđt: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)

CM đúng <=> (a + b)² > = 4ab

<=> (a - b)² > = 0 (luôn đúng với mọi a,b)

Ta lại có: A \(\ge\frac{\left(2+\frac{4}{x+y}\right)^2}{2}=\frac{\left(2+\frac{4}{1}\right)^2}{2}=18\)

Dấu"=" xảy ra <=> x = y = 1/2

Vậy minA = 18/ <=> x = y = 1/2

Bđt phụ \(a^2+b^2\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{2}\forall\)

\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2\ge a^2+2ab+b^2\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\Leftrightarrow a^2+b^2-2ab=\left(a-b\right)^2\ge0\)(đúng)

Áp dụng ta được : 

\(A\ge\frac{\left(x+y+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)^2}{2}\ge\frac{\left(x+y+\frac{4}{x+y}\right)^2}{2}=\frac{\left(1+4\right)^2}{2}=\frac{25}{2}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\)

Vậy \(A_{min}=\frac{25}{2}\) tại \(x=y=\frac{1}{2}\)

Làm tiếp ạ

\(\Rightarrow P\ge\frac{289}{16}\)

Dấu"="Xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\)

Vậy MIN P=\(\frac{289}{16}\)\(\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\)

Em chả có cách gì ngoài cô si mù mịt :v

\(\left(x^2+\frac{1}{y^2}\right)\left(y^2+\frac{1}{x^2}\right)\)

\(=\left(x^2+\frac{1}{16y^2}+\frac{1}{16y^2}+.....+\frac{1}{16y^2}\right)\left(y^2+\frac{1}{16x^2}+\frac{1}{16x^2}+.....+\frac{1}{16x^2}\right)\)

\(\ge17\sqrt[17]{\frac{x^2}{16^{16}\cdot y^{32}}}\cdot17\sqrt[17]{\frac{y^2}{16^{16}\cdot x^{32}}}\)

\(=17^2\sqrt[17]{\frac{x^2y^2}{16^{32}\cdot x^{32}\cdot y^{32}}}\)

\(=17^2\sqrt[17]{\frac{1}{16^{32}\cdot\left(xy\right)^{30}}}\)

\(\ge17^2\sqrt[17]{\frac{1}{16^{32}\left(\frac{x+y}{2}\right)^{60}}}=\frac{289}{16}\)

Dấu "=" xảy ra tại x=y=¹/₂

\(P=\left(x^2+\frac{1}{y^2}\right)\left(y^2+\frac{1}{x^2}\right)\)

\(=x^2y^2+\frac{1}{x^2y^2}+2\)

\(=x^2y^2+\frac{1}{256x^2y^2}+\frac{255}{256x^2y^2}+2\)

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(x^2y^2+\frac{1}{256x^2y^2}\ge2\sqrt{x^2y^2.\frac{1}{256x^2y^2}}=\frac{1}{8}\)

\(xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}\Rightarrow x^2y^2\le\frac{\left(x+y\right)^4}{16}=\frac{1}{16}\)

\(\Rightarrow P\ge\frac{1}{8}+\frac{255}{256.\frac{1}{16}}+2\)