a) Gọi ước chung của 4n + 3 và 5n + 7 là d

Ta có : 

+) 4n + 3 ⋮ d => 5( 4n + 3 ) ⋮ d => 20n + 15 ⋮ d (1)

+) 5n + 7 ⋮ d => 4( 5n + 7 ) ⋮ d => 20n + 21 ⋮ d (2)

Lấy (2) trừ (1) ta được :

20n + 21 - 20n - 15 

= 6

=> ước chung của 4n + 3 và 5n + 7 là 6 = { 1; 2; 3; -1; -2; -3 }

Dễ thấy 4n + 3 và 5n + 7 đều ko chia hết cho 2 và 3

=> ước chung của 4n + 3 và 5n + 7 là 1

=> d = 1

Vậy ta có 4n + 3 và 5n + 7 là 2 số nguyên tố cùng nhau ( đpcm )

b) tương tự

Ta có: 

\(n^3-4n^2-2n+15=n^3-3n^2-n^2+3n-5n+15\)

\(=\left(n-3\right)\left(n^2-n-5\right)\)

Để \(n^3-4n^2-2n+15\)là số nguyên tố thì 

\(\orbr{\begin{cases}n-3=1\\n^2-n-5=1\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}n=4\\n=3\end{cases}}\)(vì \(n\)là số tự nhiên) 

Với \(n=4\): \(n^3-4n^2-2n+15=7\)là số nguyên tố, thỏa mãn. 

Với \(n=3\): \(n^3-4n^2-2n+15=0\)không là số nguyên tố, loại. 

Ta sẽ tìm số tự nhiên \(n\)để \(A\)không là phân số tối giản. 

\(A=\frac{8n+193}{4n+3}=\frac{8n+6+187}{4n+3}=2+\frac{187}{4n+3}\) không tối giản khi \(\frac{187}{4n+3}\)không tối giản 

\(4n+3\inƯ\left(187\right)=\left\{1,11,17,187\right\}\).

Xét bảng: 

Vậy \(n\notin\left\{2,46\right\}\)thì \(A\)là phân số tối giản. 

dễ lắm bạn dạng này mik hok rùi

a, 4n - 7 ⋮ n - 1

=> 4n - 4 - 3 ⋮ n - 1

=> 4(n - 1) - 3 ⋮ n - 1

=> -3 ⋮ n - 1

=> n - 1 thuộc Ư(-3)

=> n - 1 thuộc {-1; 1; -3; 3}

=> n thuộc {0; 2; -2; 4}

\(n^2+4n=n\left(n+4\right)\)

Để n(n+4) là số nguyên tố thì (n+4;n): (4;1);(1;4);(-1;-4);(-4;-1)

Nếu n+4 = 4; n=1 => n =0 hoặc n=1

Nếu n+4=1; n=4 => n=-3 hoặc n=4

Nếu n+4 = -1;n=-4 => n = 3 hoặc n=-4

Nếu n+4= -4; n= -1 => n=-8; n=-1

\(n^2+4n=n\left(n+4\right)\)

Để \(n^2+4n\) là số nguyên tố thì \(\left[{}\begin{matrix}n=1\\n+4=1\end{matrix}\right.\).

Với \(n=1\): \(n^2+4n=5\) (thỏa mãn). 

Với \(n+4=1\Leftrightarrow n=-3\) (không thỏa mãn).

a) \(\frac{8n+193}{4n+3}=\frac{8n+6+187}{4n+3}=2+\frac{187}{4n+3}\inℕ\)mà \(n\inℕ\)

suy ra \(4n+3\inƯ\left(187\right)\Rightarrow4n+3\in\left\{11;17;187\right\}\)(vì \(4n+3\ge3\)) 

\(\Rightarrow n\in\left\{2;46\right\}\).

b) \(\frac{8n+193}{4n+3}=\frac{8n+6+187}{4n+3}=2+\frac{187}{4n+3}\)rút gọn được khi \(\frac{187}{4n+3}\)rút gọn được. 

Ta có: \(187=11.17\)suy ra \(\orbr{\begin{cases}\left(4n+3\right)⋮11\\\left(4n+3\right)⋮17\end{cases}}\)

- \(4n+3=11k\Leftrightarrow n=\frac{11k-3}{4}\)

\(150< n< 170\Rightarrow150< \frac{11k-3}{4}< 170\Rightarrow55\le k\le62\)

ta có các giá trị của \(n\)thỏa mãn là: \(156,167\).

- \(4n+3=17k\)xét tương tự, thu được các giá trị \(n\)thỏa mãn là: \(165\)

Vậy các giá trị của \(n\)thỏa mãn là: \(156,165,167\).