a)

– Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là:

– Tọa độ trực tâm H của tam giác ABC:

Cách 1:

+ Phương trình đường cao BD:

BD ⊥ AC ⇒ Đường thẳng BD nhận  là một vtpt

BD đi qua B(2; 7)

⇒ Phương trình đường thẳng BD: 7(x - 2) +11(y - 7) = 0 hay 7x + 11y – 91 = 0

+ Phương trình đường cao CE:

CE ⊥ AB ⇒ Đường thẳng CE nhận  là một vtpt

CE đi qua C(–3; –8)

⇒ Phương trình đường thẳng CE: 1(x + 3) – 2(y + 8)=0 hay x – 2y – 13 = 0.

Trực tâm H là giao điểm của BD và CE nên tọa độ của H là nghiệm của hpt:

Cách 2: Gọi H(x, y) là trực tâm tam giác ABC

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình

b) Gọi T(x; y) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Khi đó TA = TB = TC = R.

+ TA = TB ⇒ AT2 = BT2

⇒ (x – 4)2 + (y – 3)2 = (x – 2)2 + (y – 7)2

⇒ x2 – 8x + 16 + y2 – 6y + 9 = x2 – 4x + 4 + y2 – 14y + 49

⇒ 4x – 8y = –28

⇒ x – 2y = –7 (1)

+ TB = TC ⇒ TB2 = TC2

⇒ (x – 2)2 + (y – 7)2 = (x + 3)2 + (y + 8)2

⇒ x2 – 4x + 4 + y2 – 14y + 49 = x2 + 6x + 9 + y2 + 16y + 64

⇒ 10x + 30y = –20

⇒ x + 3y = –2 (2)

Từ (1) và (2) ⇒ x = –5, y = 1 ⇒ T(–5 ; 1).

⇒ T, H, G thẳng hàng.

c) Tâm đường tròn ngoại tiếp ΔABC: T(–5; 1)

Bán kính đường tròn ngoại tiếp ΔABC:

Vậy phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC:

(x + 5)2 + (y – 1)2 = 85

Cho tam giác ABC có trực tâm H , trọng tâm G , O là tâm đường tròn 
ngoại tiếp , I là trung điểm BC , AD là đường kính của (O) . 
Chứng minh H , G , O thẳng hàng ? 
Giải : 
Ta có : góc DCA = góc DBA = 90 độ ( góc nội tiếp chắn 1/2 (O)) 
Xét tứ giác BHCD ta có : 
BH // DC ( vì cùng vuông góc với AC ) 
CH // DB ( vì cùng vuông góc với AB ) 
Do đó tứ giác BHCD là hình bình hành . 
===> H , I , D thẳng hàng và IH = ID (t/c đường chéo hbhành) 
Ta lại có : OI = 1/2 AH ( đ.trung bình tam giác DAH ) (1) 
GI = 1/2 GA (t/chất trọng tâm của ABC ) (2) 
góc HAG = góc GIO ( so le trong vì AH // OI ) (3) 
Do đó tam giác GAH đồng dạng tam giác GIO ( c.g.c) 
===> góc HGA = góc IGO (góc tương ứng của 2 t.giác đ.dạng ) 
Vì góc HGA và góc IGO là 2 góc ở vị trí đối đỉnh bằng nhau nên ta suy ra H , G , O thẳng hàng . 
Vậy trong 1 tam giác trực tâm , trọng tâm , tâm đường tròn ngoại tiếp cùng nằm trên 1 đường thẳng đó là đường thẳng Euler !

Bài này là chứng minh đường thẳng ơ le. 
cách 1:
 

Gọi E,FE,F lần lượt là trung điểm của BC,AC. Ta có EF là đường trung bình của tam giác ABC nên EF//AB.
Ta lại có OF//BH(cùng vuông góc với ACA). Do đó : ˆOFE=ˆABH

Tương tự ˆOEF=ˆBAH

Từ đó ta có tam giác ABH đồng dạng với tam giác EFO

Suy ra AH/OE=AB/EF=2

mà AG/GE=2.
Do đó: AG/EG=AH/OE=2
mà ˆHAG=ˆOEG

⇒ΔHAG∼ΔEOG⇒ˆHGA=ˆEGO

nên ˆHGA+ˆAGO=ˆHGO=180

Vậy H,G,O thẳng hàng.
C2 : dùng véc tơ để tính
C3: dựng đường tròn 9 điểm => ...

Ta có : góc DCA = góc DBA = 90 độ ( góc nội tiếp chắn \(\frac{1}{2}\) (O)) 
Xét tứ giác \(BHCD,\) ta có :  \(BH\) // \(DC\) ( vì cùng vuông góc với \(AC\)) 
                                                \(CH\)// \(DB\) ( vì cùng vuông góc với AB ) 
Do đó tứ giác \(BHCD\) là hình bình hành . 
\(\Rightarrow\) \(H,\)\(I,\)\(D\) thẳng hàng và \(IH=ID\) (tính chất đường chéo hình bình hành) 
Ta lại có : \(OI=\frac{1}{2}AH\) ( đường trung bình tam giác \(DAH\) )                                        \(\left(1\right)\) 
               \(GI=\frac{1}{2}GA\) (tính chất trọng tâm của \(ABC\) )                                               \(\left(2\right)\)
Góc\(HAG\) =    góc \(GIO\) ( so le trong vì \(AH\) // \(OI\) )                                               \(\left(3\right)\)
Do đó tam giác \(GAH\) đồng dạng tam giác \(GIO\) ( c.g.c) 
\(\Rightarrow\) góc \(HGA\) =    góc \(IGO\) (góc tương ứng của 2 tam giác đồng dạng ) 
Vì góc \(HGA\) và góc \(IGO\) là 2 góc ở vị trí đối đỉnh bằng nhau nên ta suy ra \(H,\) \(G,\)\(O,\)thẳng hàng . 
Vậy trong 1 tam giác trực tâm, trọng tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp cùng nằm trên 1 đường thẳng đó là đường thẳng Euler !

Phép vị tự tâm G tỉ số -1/2 biến A thành D; biến B thành E; biến C thành F ⇒ biến tam giác ABC thành tam giác DEF.

Đáp án B

G D →   =   - 1 / 2   G A →  ⇒ phép vị tự tâm G tỉ số -1/2 biến A thành D.

Đáp án B.

Trọng tâm : điểm giao nhau của 3 đường trung tuyến trong Tam giác 

Trực tâm : giao giữa ba đường cao

Đường trung trực : là đường vuông góc với 1 đoạn thẳng tại trung điểm của đoạn thẳng đó.

chắc giờ trả lời là trễ lắm rồi, 2021 cơ mà. Nhưng lỡ thì kệ đi.