Vì EF // CI  nên MCI ^ = CFE ^  (hai góc đồng vị)

Vì DE // BC  nên CFE ^ = DEF ^  (hai góc so le trong)

⇒ MCI ^ = DEF ^          (1)

Vì EF // CI nên FEC ^ = ACI ^  (hai góc so le trong)                        (2)

Mặt khác, ⇒ MCI ^ = ACI ^  (vì CI là tia phân giác của ACM ^ )       (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra  DEF ^ = FEC ^

Vậy EF là tia phân giác của  DEC ^

a/

Ta có

DC=AD+BC (gt)

CI=BC (gt)

=> DC=AD+CI

Ta có

DC=DI+CI

=> AD=DI => tg ADI cân tại D \(\Rightarrow\widehat{DAI}=\widehat{DIA}\)

Mà \(\widehat{DAI}=\widehat{BAI}\)

\(\Rightarrow\widehat{DIA}=\widehat{BAI}\) Mà 2 góc này ở vị trí so le trong

=> AB//CD => ABCD là hình thang

b/

Ta có

CI=BC (gt) => tg BCI cân tại C \(\Rightarrow\widehat{CBI}=\widehat{CIB}\)

Ta có

AB//CD \(\Rightarrow\widehat{ABI}=\widehat{CIB}\) (góc so le trong)

\(\Rightarrow\widehat{CBI}=\widehat{ABI}\) => BI là phân giác của góc B

Bài làm

a) Ta có: AB + BD = AD

              AC + CE = AE

Mà AB = AC, BD = CE ( gt )

=> AD = AE

=> Tam giác ADE cân tại A.

b) Vì tam giác ABC cân tại A

=> \(\widehat{ABC}=\frac{180^0-\widehat{A}}{2}\)           ^₍₁₎ 

Vì tam giác ADE cân tại A

=> \(\widehat{ADE}=\frac{180^0-\widehat{A}}{2}\)         ^₍₂₎ 

Từ ^₍₁₎ và ^₍₂₎ => \(\widehat{ABC}=\widehat{ADE}\)

Mà hai góc này đồng vị.

=> BC // DE

c) Ta có: \(\widehat{ABC}=\widehat{MBD}\)( hai góc đối )

\(\widehat{ACB}=\widehat{NCE}\)( hai góc đối )

Mà \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\)( Tam giác ABC cân )

=> \(\widehat{MBD}=\widehat{NCE}\)

Xét tam giác BMD và tam giác CNE có:

\(\widehat{BMD}=\widehat{CNE}=90^0\)

Cạnh huyền: BD = CE ( gt )

Góc nhọn: \(\widehat{MBD}=\widehat{NCE}\)( cmt )

=> Tam giác BMD = tam giác CNE ( cạnh huyền - góc nhọn )

=> BM = CN

Lại có: \(\widehat{ABC}+\widehat{ABM}=180^0;\widehat{ACB}+\widehat{ACN}=180^0\)

Mà \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\)( Tam giác ABC cân )

=> \(\widehat{ABM}=\widehat{ACN}\)

Xét tam giác ABM và tam giác ACN có:

BM = CN ( cmt )

\(\widehat{ABM}=\widehat{ACN}\)( cmt )

AB = AC ( Do tam giác ABC cân tại A )

=> Tam giác ABM = tam giác ACN ( c.g.c )

=> AM = AN

=> Tam giác AMN cân tại A.

d) Chứng minh AH = IA nha, muộn r.

Xét tam giác AKH và tam giác AKI có:

\(\widehat{AHK}=\widehat{AIK}=90^0\)

Cạnh huyền: AK chung.

Cạnh góc vuông: AH = AI ( cmt )

=> Tam giác AKH = tam giác AKI ( cạnh huyền - cạnh góc vuông )

=> \(\widehat{HAK}=\widehat{IAK}\)

=> AK phân giác của \(\widehat{HAI}\)

Hay AK là phân giác của \(\widehat{MAN}\)( đpcm )

a,Ta có ΔABCΔABC cân ở góc A => góc ABC=góc ACB =180(độ)−BAC2180(độ)−BAC2(1)

Ta có BD=CE(gt);AB=AC(gt)

mà AB+BD=AD và AC+CE=AE

=> AD=AE

=>ΔADEΔADE cân tại A ( Có hai góc bằng nhau)

=>góc ADE= góc AED=(180 độ - DAE) :2 (2)

Từ (1) và (2) => góc ABC= góc ADE=góc ACB=góc AED

mà góc ABC và góc ADE ở vị trí đồng vị

=>BC // DE(đpcm)

b)ta có góc ABC= góc MBD (đối đỉnh )

góc ACB= góc NCE( đối đỉnh )

mà Góc ABC=Góc ACB => góc MBD= góc NCE

Xét hai tam giác vuông ΔBMDΔBMD và ΔCNEΔCNE

có BD=CE (gt)

góc MBD= góc NCE (c/m trên)

=>ΔBMD=ΔCNEΔBMD=ΔCNE(Cạnh huyền - Góc nhọn)

=> DM=EN(Hai cạnh tương ứng)

c) Gọi giao điểm của AM và BI là E

giao điểm của AN và CI là F

Vì ΔBMD=ΔCNEΔBMD=ΔCNE( chứng minh trên ) =>BM=CN( Hai cạnh tương ứng)

Ta có : Góc ABC= Góc ACB ( gt)

mà Góc ABC + Góc ABM=180 độ ( kề bù)

và Góc ACB+góc ACN= 180 độ ( kề bù)

=>Góc ABM=góc ACN

Xét ΔABMΔABM VÀ ΔACNΔACN có:

AB=AC(gt)

Góc ABM=Góc ACN(cmt)

BM=CM ( cmt)

=> ΔABM=ΔACN(c−g−c)ΔABM=ΔACN(c−g−c)

=> Góc AMB=Góc ANC (hai góc tương ứng )

=> ΔAMNΔAMN Cân ở A ( có hai góc bằng nhau) (đpcm)

D,(hơi dài )

ta có tam giác AMN cân ở A=> AM=AN( hai cạnh bên) (3)

Xét hai tam giác vuông Tam giác EMB và tam giác FCN có:

Góc EMB=góc FNC (cmt)

MB=CN(cmt)

=> tam giác EMB= tam giác FNC ( cạnh huyền -góc nhọn)

=>EM=FN(hai cạnh tương ứng ) (4)

Ta có (3) (4) mà AE+EM=AM và AF+FN=AN

=> AE=AF

Xét hai tam giác vuông tam giác AEI và tam giác AFI có

AI cạnh chung

AE=AF(cmt)

=> tam giác AEI = Tam giác AFI (cạnh huyền-cạnh góc vuông)

=>Góc AIE=Góc AIF( góc tương ứng ) (10)

ta có góc EBM+MBD=góc EBD= góc ABI (đối đỉnh)(5)

góc FCN+NCE= Góc FCE= góc ACI( đối đỉnh )(6)

mà góc EBM= góc FCN (cmt)(7)

góc MDB=góc NCE(gt) (8)

từ (5)(6)(7)(8)=> góc ABI = góc ACI (9)

từ (9) (10)=> góc BAI=góc CAI ( tổng 3 góc của một tam giác ) (đpcm)

đề này thay ở câu d một tí nha , tuy tên gọi khác nhưng làm in hệt

d) Từ B và C kẻ các đường vuông góc với AN và AM, chúng cắt nhau tại I. Chứng minh rằng: AI là tia phân giác của góc BAC.

Cậu chép mạng đúng ko?