Cho o là trung điểm của đoạn AB. Trên cùng môtj nửa mặt phẳng có bờ là cạnh AB vẽ tia Ax, By cùng vuông góc với Ab. TRên tia Ax lấy C( khác A), qua o kẻ đường thawnggr vuông góc với OC cắt By tại D.

a. CM: (AB)^2= 4AC.BD

minh se noi cach tu duy cua minh, mong ban hieu

AB^2=4AC.BD=>(2OA)^2=4AC.BD=>4OA^2=4AC.BD=>Ban phai chung minh OA^2=AC.BD

Day la cach chung minh: goc COA+COD+DOB=180

Ma COD=90(theo gt)=>COA+BOD=90(1)

Trong tam giac COA co CAO=90:COA+ACO=90(2)

Tu (1)va(2) ta=>BOD=ACO

xet tam giac CAO va OBD co:

CAO=OBD=90

BOD=ACO(theo cm tren)

=>tam giac CAO dong dang voi tam giac OBD=>AC/OA=OB/BD=>AC/OA=OA/BD=>OA^2=AC.BD

Tham khảo here =))

https://olm.vn/hoi-dap/detail/67509118574.html

a) Xét \(\Delta\)CAO và \(\Delta\)OBD: ^CAO=^OBD=90⁰; ^AOC=^BDO (Cùng phụ ^BOD)

=> \(\Delta\)CAO ~ \(\Delta\)OBD (g.g) => \(\frac{AC}{BO}=\frac{AO}{BD}\Rightarrow AO.BO=AC.BD\)

\(\Rightarrow\frac{1}{2}AB.\frac{1}{2}AB=AC.BD\Leftrightarrow\frac{1}{4}AB^2=AC.BD\)

\(\Leftrightarrow AB^2=4.AC.BD\)(đpcm)

b) Ta có: \(\Delta\)CAO ~ \(\Delta\)OBD (cmt) => \(\frac{AC}{OB}=\frac{OC}{OD}\) hay \(\frac{AC}{OA}=\frac{OC}{OD}\) (Do OA=OB)

=> \(\frac{AC}{OC}=\frac{OA}{OD}\)=> \(\Delta\)CAO ~ \(\Delta\)COD (Cạnh huyền cạnh góc vuông)

=> ^ACO=^OCD hay ^ACO=^MCO => \(\Delta\)CAO=\(\Delta\)CMO (Cạnh huyền góc nhọn)

=> AC=CM (đpcm).

Xét \(\Delta OAC\)và \(\Delta DBO\)có :

\(\widehat{CAO}=\widehat{DBO}\left(=90^o\right)\); \(\widehat{COA}=\widehat{ODB}\)( cùng phụ \(\widehat{DOB}\))

\(\Rightarrow\)\(\Delta OAC\)~ \(\Delta DBO\)( g . g )

\(\Rightarrow\)\(\frac{OA}{BD}=\frac{AC}{BO}\) \(\Rightarrow\)OA . OB = BD . AC \(\Rightarrow\)AB² = 4BD . AC

b) \(\Delta OAC\)~ \(\Delta DBO\)(g.g) \(\Rightarrow\)\(\frac{AC}{AO}=\frac{OC}{OD}\)

xét \(\Delta OAC\)và \(\Delta DOC\)có : \(\frac{AC}{AO}=\frac{OC}{OD}\); \(\widehat{CAO}=\widehat{COD}=90^o\)

\(\Rightarrow\)\(\Delta OAC\)~ \(\Delta DOC\)(c.g.c) \(\Rightarrow\)\(\widehat{ACO}=\widehat{OCD}\)

xét \(\Delta OAC\)và \(\Delta MCO\)có : \(\widehat{ACO}=\widehat{OCD}\); CO ( chung )

\(\Rightarrow\)\(\Delta ACO=\Delta MCO\left(ch-gn\right)\)\(\Rightarrow\)CA = CM ; OA = OM ; 

c) OC là đường trung trực AM \(\Rightarrow\)OC \(\perp\)AM

Mặt khác : OA = OB = OM \(\Rightarrow\)\(\Delta AMB\)vuông tại M

\(\Rightarrow\)OC // BM

gọi gđ BM với AC là I

\(\Delta ABI\)có OC đi qua trung điểm AB và OC // BI \(\Rightarrow\)IC = AC

gọi K là gđ BC với MH

MH // AI \(\Rightarrow\)\(\frac{MK}{IC}=\frac{BK}{BC}=\frac{KH}{AC}\) \(\Rightarrow\)BK = KH 

\(\Rightarrow\)BC đi qua trung điểm MH

d) tứ giác ABDC là hình thang vuông \(\Rightarrow\)\(S_{ABDC}=\frac{1}{2}.\left(AC+BD\right).AB\)

Ta có : \(AC+BD\ge2\sqrt{AC.BD}=AB\)

\(\Rightarrow\)\(S_{ABDC}=\frac{1}{2}.\left(AC+BD\right).AB\ge\frac{1}{2}.AB^2\)

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\)AC = BD = \(\frac{AB}{2}=OA\)

Vậy C thuộc Ax và cách A 1 khoảng bằng OA