số tự nhiên n phải có chữ số tận cùng là 4 hoặc 9 vì ( n + 1 ) chia hết cho 15

1001 chia hết cho 7

1001 :7 = 143

mà 1001 chia hết cho ( n + 4) 

=> n = 143 - 4

Vậy n = 139

Bài 1: P là lẻ, vì nếu P chẵn thì P = 2 => P + 4 = 6 là hợp số.

*) P = 3 => P + 4 = 7; P + 20 = 23 => hợp lí.

*) P > 3 => P phải là số không chia hết cho 3 vì nếu nó chia hết cho 3 thì không phải là hợp số (ngoài số 3) 

=> P = 3k + 1 hoặc 3k + 2

+) Với P = 3k + 1 => P + 20 = 3k + 21 chia hết cho 3 => loại

+) Với P = 3k + 2 ==> P + 4 = 3k + 6 chia hết cho 3 => loại

Vậy P chỉ có thể = 3

Bài 2: S = 3⁰ + 3¹ + 3² + ... + 3¹²³

S = (3⁰ + 3¹ + 3² + 3³) + ... + (3¹²⁰ + 3¹²¹ + 3¹²² + 3¹²³)

S = 3⁰(1 + 3¹ + 3² + 3³) + ... + 3¹²⁰.( 1 + 3¹ + 3² + 3³)

S = 3⁰.40 + ... + 3¹²⁰.40

S = 40.(3⁰ + ... + 3¹²⁰) = 4.10.40.(3⁰ + ... + 3¹²⁰) 

Vì tích chứa 10 => S chia hết cho 10.

S = 1 + 3 + 3² + ... + 3¹²³

S = ( 1 + 3 + 3² + 3³ ) + ( 3⁴ + 3⁵ + 3⁶ + 3⁷ ) + ... + ( 3¹²⁰ + 3¹²¹ + 3¹²² + 3¹²³ )

S = 1.40 + 3⁴(1+3+3²+3³) + ... + 3¹²⁰.(1+3+3²+3³)

S = 1.40 + 3⁴.40 + ... + 3¹²⁰.40

S = 4.10.(1+3⁴+...+3¹²⁰) chia hết cho 10

Ta có:

1001 chia hết cho n  +1

n + 1 thuộc U(1001) = {1;7;11;13;77;91;143;1001}

Vậy n thuộc {0 ; 6 ; 10 ; 12 ; 76 ; 90 ; 142 ; 1000}

n-  1 chia hết cho 15 < = > n - 1 tận cùng là 0 hoặc 5

n tận cùng là 1 hoặc 6

Vậy n = 6(loại) hoặc 76 => n = 76