Cho 3 số nguyên a, b, c. Chứng minh rằng:
a) Nếu a = b + c thì a/b + a/c = a/b x a/c
b) Nếu c = a + b thì a/b - a/c = a/b x a/c
Cho các số nguyên a,b,c . Chứng minh rằng :
a, Nếu a + b + c chia hết cho 6 thì \(a^3+b^3+c^3⋮6\).
b, Nếu a + b + c chia hết cho 30 thì \(a^5+b^5+c^5⋮30\) .
b) ta có: 30=2.3.5
\(a^2\equiv a\left(mod2\right)\Rightarrow a^4\equiv a^2\equiv a\left(mod2\right)\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a^5\equiv a^2\equiv a\left(mod2\right)\\b^3\equiv b\left(mod3\right)\\c^5\equiv c\left(mod5\right)\end{cases}\Rightarrow b^5\equiv b^3\equiv b\left(mod3\right)}\)
\(\Rightarrow a^5+b^5+c^5\equiv a+b+c\left(mod2.3.5\right)\)
\(a^2+b^2+c^2=\left(a+b+c\right)+\left(a^3-a\right)+\left(b^3-b\right)+\left(c^3-c\right)\)
\(=\left(a+b+c\right)+a\left(a^2-1\right)+b\left(b^2-1\right)+c\left(c^2-1\right)\)
\(=\left(a+b+c\right)+\left(a-1\right)\left(a+1\right)+\left(b-1\right)\left(b+1\right)+\left(c-1\right)\left(c+1\right)\)
\(mà\)\(a\left(a-1\right)\left(a+1\right)⋮6\)
\(b\left(b-1\right)\left(b+1\right)⋮6\)
\(c\left(c-1\right)\left(c+1\right)⋮6\)
\(a+b+c⋮6\)
\(\Leftrightarrow(a^3+b^3+c^3)⋮6\)\((đpcm)\)
cho a,b,c là các số thực thỏa man: a+\(\dfrac{1}{b}=b+\dfrac{1}{c}=c+\dfrac{1}{a\backslash}\).
a) chứng minh nếu a,b,c đôi một khác nhau thì a2b2c2=1
b) chứng minh rằng nếu a,b,c>0 thì a=b=c
1. dùng đẳng thức A x (B U C) = (A x B) U (A x C), chứng minh rằng phép nhân có tính chất phân phối đối với phép cộng tức là:
a(b + c) = ab + ac
2. chứng minh phép cộng thỏa mãn luật giản ước tức là với a, b, c thuộc N, nếu a + c = b + c thì a=b
3. chứng minh
a) A x (B U C) = (A x B) U (A x C)
b) nếu A giao B bằng rỗng thì (A x B) giao (B x A) bằng rõng
c) A x rỗng = rỗng
1 Khẳng định nào đúng?
(A) Nếu a=b thì a-c=b-c
(B) nếu a-c=b-c thì a=b
(C) Nếu a=b thì a=c=b-c
(D) Nếu a-c=c-b thì a+b =2c
2Tim số nguyên x
x - (1-x)=5+(-1 + x)
1.khang dinh A,B,D dung
2,x-(1-x)=5+(-1+x)
x-1+x=5-1+x
2x-1=4+x
2x-x=4+1
x=5
Vay x=5
co bai kho hoi mik nhe
1.Cho bốn số nguyên dương a,b,c,d thỏa mãn ab=cd.Chứng minh rằng \(a^5+b^5+c^5+d^5\)là hợp số.
2.Cho các số tự nhiên a và b.Chứng minh rằng:
a, Nếu\(a^2+b^2\)chia hết cho 3 thì a và b chia hết cho 3.
b, Nếu\(a^2+b^2\)chia hết cho 7 thì a và b chia hết cho 7.
3.Cho các số nguyên a,b,c.Chứng minh rằng:
a, Nếu a+b+c chia hết cho 6 thì \(a^3+b^3+c^3\)chia hết cho 6.
b, Nếu a+b+c chia hết cho 30 thì \(a^5+b^5+c^5\)chia hết cho 30
1. Gọi ƯCLN (a,c) =k, ta có : a=ka1, c=kc1 và (a1,c1)=1
Thay vào ab=cd được ka1b=bc1d nên
a1b=c1d (1)
Ta có: a1b \(⋮\)c1 mà (a1,c1)=1 nên b\(⋮\)c1. Đặt b=c1m ( \(m\in N\)*) , thay vào (1) được a1c1m = c1d nên a1m=d
Do đó: \(a^5+b^5+c^5+d^5=k^5a_1^5+c_1^5m^5+k^5c_1^5+a_1^5m^5\)
\(=k^5\left(a_1^5+c_1^5\right)+m^5\left(a_1^5+c_1^5\right)=\left(a_1^5+c_1^5\right)\left(k^5+m^5\right)\)
Do a1, c1, k, m là các số nguyên dương nên \(a^5+b^5+c^5+d^5\)là hợp số (đpcm)
2. Nhận xét: 1 số chính phương khi chia cho 3 chỉ có thể sư 0 hoặc 1.
Ta có \(a^2+b^2⋮3\). Xét các TH của tổng 2 số dư : 0+0, 0+1,1+1, chỉ có 0+0 \(⋮\)3.
Vậy \(a^2+b^2⋮3\)thì a và b \(⋮3\)
b) Nhận xét: 1 số chính phương khi chia cho 7 chỉ có thể dư 0,1,2,4 (thật vậy, xét a lần lượt bằng 7k, \(7k\pm1,7k\pm2,7k\pm3\)thì a2 chia cho 7 thứ tự dư 0,1,4,2)
Ta có: \(a^2+b^2⋮7\). Xét các TH của tổng 2 số dư : 0+0, 0+1, 0+2, 0+4 , 1+1, 1+2, 2+2, 1+4, 2+4, 4+4; chỉ có 0+0 \(⋮7\). Vậy......
3. a) Xét hiệu \(a^3-a=a\left(a^2-1\right)=\left(a-1\right)a\left(a+1\right)⋮2.3=6\)( tích của 3 số nguyên liên tiếp)
Tương tự: \(b^3-b⋮6\)và \(c^3-c⋮6\)
\(\Rightarrow\left(a^3+b^3+c^3\right)-\left(a+b+c\right)⋮6\Rightarrow a^3+b^3+c^3⋮6\Leftrightarrow a+b+c⋮6\)
b) Ta có: \(30=2.3.5\)và 2,3,5 đôi một nguyên tố cùng nhau.
Theo định lý Fermat: \(a^2\equiv a\left(mod2\right)\Rightarrow a^4\equiv a^2\equiv a\left(mod2\right)\Rightarrow a^5\equiv a^2\equiv a\left(mod2\right)\)
\(a^3\equiv a\left(mod3\right)\Rightarrow a^5\equiv a^3\equiv a\left(mod3\right)\)
\(a^5\equiv a\left(mod5\right)\)
Theo tính chất của phép đồng dư, ta có:
\(a^5+b^5+c^5\equiv a+b+c\left(mod2\right)\)
\(a^5+b^5+c^5\equiv a+b+c\left(mod3\right)\)
\(a^5+b^5+c^5\equiv a+b+c\left(mod5\right)\)
Do đó: \(a^5+b^5+c^5\equiv a+b+c\left(mod2.3.5\right)\). Tức là nếu a+b+c chia hết cho 30 thì ....(đpcm)
cho các số nguyên a,b,c,d (a>b>c>d>0)
Chứng minh rằng nếu a/b=c/d thì a+d>b+c
Cho các số nguyên a,b,c,d thỏa mãn a>b>c>d>0. Chứng minh rằng nếu a/b=c/d thì a+d>b+c
cho f(x)= ax3+bx2+cx+d
a, Chứng minh nếu f(x) nhận giá trị nguyên với ,ọi x nguyên thì 6a, 2b, a+b+c, d đều là số nguyên
b Chứng minh rằng nếu 6a, 2b, a+b+c, d là các số nguyên thì f(x) nhân giá trị nguyên với mọi x nguyên
Cho 3 số nguyên a; b; c. Chứng minh rằng:
a) Nếu a= b+ c thì \(\frac{a}{b}\)+ \(\frac{a}{c}\)= \(\frac{a}{b}\)x \(\frac{a}{c}\).
b) Nếu c= a+ b thì \(\frac{a}{b}\)- \(\frac{a}{c}\)= \(\frac{a}{b}\)x \(\frac{a}{c}\).
Trong mỗi trường hợp, hãy lấy 2 ví dụ minh họa.
a) Ta có: \(\frac{a}{b}+\frac{a}{c}=\frac{ac+ab}{bc}=\frac{a\left(b+c\right)}{bc}=\frac{a.a}{bc}\) (thay b+c = a) (1)
\(\frac{a}{b}\times\frac{a}{c}=\frac{a.a}{bc}\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: \(\frac{a}{b}+\frac{a}{c}=\frac{a}{b}\times\frac{a}{c}\) (đpcm)
b) \(c=a+b\)\(\Rightarrow\)\(a=c-b\)
Ta có: \(\frac{a}{b}-\frac{a}{c}=\frac{ac-ab}{bc}=\frac{a\left(c-b\right)}{bc}=\frac{a^2}{bc}\) (thay c-b = a) (3)
\(\frac{a}{b}\times\frac{a}{c}=\frac{a^2}{bc}\) (4)
Từ (3) và (4) suy ra: \(\frac{a}{b}-\frac{a}{c}=\frac{a}{b}\times\frac{a}{c}\) (đpcm)