Nếu MA=2MD thì AD sẽ được chia ra làm 3 phần bằng nhau=>MD = 18: 3=6(cm)

ND=3NC=>NC=24:4=6(cm)

Diện tích tam giác ABM là:

6 x 2 x 24 : 2= 144(cm2)

Diện tích tam giác BCN là:

6 x 18 :2=54(cm2)

Diện tích tam giác DNM là:

6 x 3 x 6 :2 =54(cm2)

Diện tích tam giác BNM là:

24 x 18 - (54+54+144)=180(cm2)

Đ/S:180cm2

Ta có : \(\hept{\begin{cases}MA=12cm,MD=6cm\\ND=18cm,NC=6cm\end{cases}}\)

\(S_{BMN}=S_{ABCD}-S_{ABM}-S_{BCN}-S_{DMN}\)

\(=AB\times BC-\frac{AB\times AM}{2}-\frac{BC\times CN}{2}-\frac{DM\times DN}{2}=180cm^2\)

Xét tg ABD và tg BCD có đường cao từ D->AB = đường cao từ B->CD nên

\(\frac{S_{ABD}}{S_{BCD}}=\frac{AB}{CD}=\frac{4}{5}\)

\(S_{ABCD}=S_{ABD}+S_{BCD}\)

Chia \(S_{ABD}\) thành 4 phần bằng nhau thì \(S_{BCD}\) là 5 phần như thế

\(\Rightarrow\frac{S_{ABD}}{S_{ABCD}}=\frac{S_{ABD}}{S_{ABD}+S_{BCD}}=\frac{4}{4+5}=\frac{4}{9}\Rightarrow S_{ABD}=\frac{4xS_{ABCD}}{9}\)

\(\Rightarrow\frac{S_{BCD}}{S_{ABCD}}=\frac{5}{9}\Rightarrow S_{BCD}=\frac{5xS_{ABCD}}{9}\)

Ta có \(\frac{AM}{MD}=2\Rightarrow\frac{AM}{AD}=\frac{2}{3};\frac{NC}{BN}=\frac{3}{2}\Rightarrow\frac{NC}{BC}=\frac{3}{5}\)

Xét tg ABM và tg ABD có chung đường cao từ B->AD nên

\(\frac{S_{ABM}}{S_{ABD}}=\frac{AM}{AD}=\frac{2}{3}\Rightarrow S_{ABM}=\frac{2xS_{ABD}}{3}=\frac{2}{3}x\frac{4xS_{ABCD}}{9}=\frac{8xS_{ABCD}}{27}\)

Xét tg CDN và tg BCD có chung đường cao tư D->BC nên

\(\frac{S_{CDN}}{S_{BCD}}=\frac{CN}{BC}=\frac{3}{5}\Rightarrow S_{CDN}=\frac{3}{5}xS_{BCD}=\frac{3}{5}x\frac{5xS_{ABCD}}{9}=\frac{S_{ABCD}}{3}\)

Ta có

\(S_{BMDC}=S_{ABCD}-S_{ABM}=S_{ABCD}-\frac{8xS_{ABCD}}{27}=\frac{19xS_{ABCD}}{27}\)

\(S_{ABND}=S_{ABCD}-S_{CDN}=S_{ABCD}-\frac{S_{ABCD}}{3}=\frac{2xS_{ABCD}}{3}\)

\(\Rightarrow S_{BMDC}-S_{ABND}=\frac{19xS_{BCD}}{27}-\frac{2xS_{ABCD}}{3}=\frac{S_{ABCD}}{27}=72\Rightarrow S_{ABCD}=27x72=1944cm^2\)

S.ABCD là :30 x 20 : 2 =300

S.ACB là : 300 : 2 = 150 (cm2)

S.CMB là :  150 : 2 = 75 (cm2)

S.MBN là : 75 : 3 = 25 (cm2)

S.AMNCD là : 300 - 25 = 275 (cm2)

Kí hiệu diện tích là S 

Vì : \(BM=\frac{1}{2}BC\Rightarrow BM=18\times\frac{1}{2}=9\left(cm\right)\) 

\(CN=\frac{1}{3}CD\Rightarrow CN=24\times\frac{1}{3}=8\left(cm\right)\)

Cạnh DN dài là : 24 - 8 = 16 ( cm ) 

S_ABM là : 24 x 9 : 2 = 108 ( cm² )

S_MCN là : 9 x 8 : 2 = 36 ( cm² )

S_ADN là : 18 x 16 : 2 = 164 ( cm² )

S_ABCD là : 24 x 18 = 432 ( cm² )

Vậy S_AMN là : ... ( tự lm ) 

Đáp án của mình là : 108 cm2