a) Xét tứ giác HMBI có:

∠HMI = ∠HBI (2 góc nội tiếp chắn 2 cung bằng nhau \(\widebat{AN}=\widebat{CN}\))

Mà 2 góc này cùng nhìn cạnh HI

=> Tứ giác BMHI nội tiếp

b) Xét ΔMNI và ΔMKC có:

∠KMC là góc chung

∠MNI = ∠KCM (2 góc nội tiếp chắn 2 cung bằng nhau \(\widebat{AM}=\widebat{BM}\))

=> ΔMNI ∼ ΔMCK => \(\frac{MN}{MC}=\frac{MI}{MK}\) => MN.MK = MC.MI

c) Xét tứ giác NKIC có:

∠KNI = ∠KCI (2 góc nội tiếp chắn 2 cung bằng nhau \(\widebat{AM}=\widebat{MB}\))

Mà 2 góc này cùng nhìn cạnh KI

=> Tứ giác NKIC là tứ giác nội tiếp

=> ∠NKI + ∠NCI = 180o (1)

Xét đường tròn (O) có:

\(\hept{\begin{cases}\widehat{ANK}=\widehat{ACM}\left(\text{2 góc nội tiếp cùng chắn cung AM}\right)\\\widehat{NAK}=\widehat{NCA}\left(\text{2 góc nội tiếp cùng chắn 2 cung BẰNG NHAU}\widebat{AN}=\widebat{CN}\right)\end{cases}}\)

=> ∠ANK + ∠NAK = ∠ACM + ∠NCA = ∠NCI (2)

Xét tam giác AKN có: ∠ANK + ∠NAK + ∠NKA = 180o (3)

Từ (1), (2), (3) => ∠NKI = ∠NKA

Xét tam giác IKN và tam giác AKN có:

∠NKI = ∠NKA

KN là cạnh chung

∠KNI = ∠KNA (2 góc nội tiếp chắn 2 cung bằng nhau)

=> ΔIKN = ΔAKN

=> IK=AK =>ΔAKI cân tại K

Tứ giác NKIC là tứ giác nội tiếp

Mặt khác ∠KCN = ∠ABN (2 góc nội tiếp cùng chắn cung AN của (O))

∠BAC = ∠BNC (2 góc nội tiếp cùng chắc cung BC của (O))

=> Tứ giác AHIK là hình bình hành

Mà IK = AK

=> Tứ giác AHIK là hình thoi.

CÒN LẠI TỰ LÀM LÀM NHA

bằng cục ứt

a, HS tự chứng minh

b, M chính giữa  A B ⏜

=> NE là phân giác  B N A ^

=>  B N A N = E B E A  (tính chất đường phân giác) => BN.AE = NA.BE

c, HS tự chứng minh

d, Chứng minh ∆ABN:∆DBN => ĐPCM

a) ta có : 

P là điểm chính giữa cung AC

=> cung AP = cung PC

N là điểm chính giữa cung BC

=> cung NB = NC

Mà : góc IBN = 1/2 cung PN = 1/2 (cung PC + cung CN )

        góc BIN = 1/2 ( cung BN + AP ) 

mà cung PC = cung AP 

      cung BN = cung CN

=> IBN = BIN

=> tam giác IBN là tam giác cân 

b) ta có : N là điểm chính giữa của cung BC 

=>MN là tia phân giác của góc BAC

=> EB/AE=BN/AN

=> đpcm

c) ta có : BNI cân 

NM là tia phân giác 

=> NM cũng là tia trung trực 

=> EBN = EIN 

MÀ IBN = BIN ( tam giác cân ) 

=> EBI=EIB (1) 

=> tam giác EBI cân 

mà P là điểm chính giữa cung AC

=> BP là đường phân giác của góc EBN

=> EBP = IBN hay EBI=IBN (2) 

từ (1) và (2) => IBN=EIB

mà 2 góc ở vị trí slt => EI//BC

d) Xét tam giác BAN và tam giác BDN

có N chung 

   góc BAN = BDN ( cùng chắn cung BN )

=> tam giác BAN đồng dạng tam giác BDN 

=> đpcm

a, CM BIN=IBN = 1/2 sđ PN => tam giác BIN cân tại N 

b, CM đc MN vuông góc với BP mà tam giác BIN cân tại N => MN là đường trung trực của BI , E thuộc MN => BE=BI và EN là tia pg của BEI  

CM tam giác AEN ~ tam giác IEN ( g-g) =>AE.IN = EI.AN => AE.BN = EB.AN

c, CM đc EBP = PBC mà EBI =EIB nên EIB = IBD mà 2 góc này ở vị trí slt=> EI //BC

d, CM tam giác ABN~ tam giác BDN ( g-g) => AN/BN = AB /BD \dfrac{AN}{BN}=\dfrac{AB}{BD}

A)

Ta có góc IBN là góc nội tiếp chắn cung PN 
=> góc IBN = \(\dfrac{sđPN}{2}\)
Vì góc BIN là góc có đỉnh nằm trong đường tròn
nên: góc BIN = \(\dfrac{sđAP+sđBN}{2}=\dfrac{sđPC+sđCN}{2}=\dfrac{sđPN}{2}\) (vì P nằm chính giữa cung AC nên AP = PC; vì N nằm chính giữa cung BC nên BN = CN)
Xét ΔBIN có:
góc BIN = góc IBN
Do đó: ΔBIN cân tại N