Đường tròn (C) tiếp xúc với d1 và d2 , suy ra tâm của nó nằm trên đường phân giác của góc (d1;d2)
Khoảng cách từ một điểm bất kì trên phân giác của góc đến hai cạnh của góc thì bằng nhau, ta có:
\(\frac{\left|3x-4y+1\right|}{5}=\frac{\left|6x+8y-1\right|}{10}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}2\left(3x-4y+1\right)=6x+8y-1\\2\left(3x-4y+1\right)=-6x-8y+1\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}16y-3=0\\12x+1=0\end{cases}}\)
Xét hệ \(\hept{\begin{cases}3x+y-1=0\\16y-3=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{13}{48}\\y=\frac{3}{16}\end{cases}}\Rightarrow I_1\left(\frac{13}{48};\frac{3}{16}\right)\Rightarrow R_1=\frac{17}{80}\)
\(\Rightarrow\left(C_1\right):\left(x-\frac{13}{48}\right)^2+\left(y-\frac{3}{16}\right)^2=\frac{289}{6400}\)
Xét hệ: \(\hept{\begin{cases}3x+y-1=0\\12x+1=0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=-\frac{1}{12}\\y=\frac{5}{4}\end{cases}}}\Rightarrow I_2\left(-\frac{1}{12};\frac{5}{4}\right)\Rightarrow R_2=\frac{17}{20}\)
\(\Rightarrow\left(C_2\right):\left(x+\frac{1}{12}\right)^2+\left(y-\frac{5}{4}\right)^2=\frac{289}{400}\).
Đường tròn (C) tiếp xúc với d1 và d2 , suy ra tâm của nó nằm trên đường phân giác của góc (d1;d2)
Khoảng cách từ một điểm bất kì trên phân giác của góc đến hai cạnh của góc thì bằng nhau, ta có:
|3x−4y+1|5 =|6x+8y−1|10 ⇔[
2(3x−4y+1)=6x+8y−1 |
2(3x−4y+1)=−6x−8y+1 |
⇔[
16y−3=0 |
12x+1=0 |
Xét hệ {
3x+y−1=0 |
16y−3=0 |
⇔{
x=1348 |
y=316 |
⇒I1(1348 ;316 )⇒R1=1780
⇒(C1):(x−1348 )2+(y−316 )2=2896400
Xét hệ: {
3x+y−1=0 |
12x+1=0 |
⇔{
x=−112 |
y=54 |
⇒I2(−112 ;54 )⇒R2=1720
⇒(C2):(x+112 )2+(y−54 )2=289400 .
Lập phương trình đường tròn có tâm nằm trên đường thẳng Δ: 4x + 3y – 2 = 0 và tiếp xúc với hai đường thẳng d1: x + y + 4 = 0 và d2: 7x – y + 4 = 0 .
Giả sử đường tròn cần lập có tâm O; bán kính R.
Đường thẳng Δ đi qua M(2; -2) và có VTPT là n→(4; 3) nên đường thẳng này có 1 VTCP là u→(3; -4) . Phương trình tham số của đường thẳng Δ là:
O nằm trên Δ ⇒ O(2 + 3t; -2 – 4t)
Đường tròn (O; R) tiếp xúc với d1 và d2 ⇒ d(O; d1) = d(O; d2) = R
Ta có: d(O; d1) = d(O; d2)
+ Với t = 0 ⇒ O(2; -2) ⇒ R = d(O; d1) = 2√2
Phương trình đường tròn: (x – 2)2 + (y + 2)2 = 8.
+ Với t = -2 ⇒ O(-4; 6) , R = d(O; d1) = 3√2
Phương trình đường tròn: (x + 4)2 + (y – 6)2 = 18
Vậy có hai phương trình đường tròn thỏa mãn là:
(x – 2)2 + (y + 2)2 = 8 hoặc (x + 4)2 + (y – 6)2 = 18
Đường tròn (C) có tâm I thuộc đường thẳng ∆: x = 5 và tiếp xúc với hai đường thẳng d1: 3x – y + 3 = 0; d2: x – 3y + 9 = 0 có phương trình là:
A. x – 5 2 + y + 2 2 = 40 hoặc x - 5 2 + y - 8 2 = 10
B. x – 5 2 + y + 2 2 = 40
C. x – 5 2 + y + 2 2 = 40
D. x – 5 2 + y - 2 2 = 40 hoặc x - 5 2 + y + 8 2 = 10
Cho đường tròn (C) có tâm nằm trên đường thẳng ∆: x + 2y – 5 = 0 và tiếp xúc với hai đường thẳng d 1 : 3 x − y + 5 = 0 v à d 2 : x + 3 y − 13 = 0 . Khi đó bán kính lớn nhất của đường tròn (C) có thể nhận là:
A. 19 2 10
B. 3 10
C. 9 2 10
D. 6 10
Do tâm nằm trên đường thẳng ∆: x + 2y – 5 = 0 nên tâm I(5 – 2y; y). Mà đường tròn tiếp xúc với hai đường thẳng d 1 : 3 x − y + 5 = 0 v à d 2 : x + 3 y − 13 = 0 nên có bán kính R = d I ; d 1 = d I ; d 2
⇒ 3 ( 5 − 2 y ) − y + 5 3 2 + ( − 1 ) 2 = 5 − 2 y + 3 y − 13 1 2 + 3 2
⇒ 20 − 7 y 10 = − 8 + y 10 ⇔ 20 − 7 y = − 8 + y ⇔ 400 − 280 y + 49 y 2 = 64 − 16 y + y 2 ⇔ 48 y 2 − 264 y + 336 = 0 ⇔ y = 2 y = 7 2
Tương ứng ta có hai bán kính của (C) là R 1 = 6 10 , R 2 = 9 2 10
Đáp án là D.
trong mặt phẳng oxy viết phương trình đường tròn (c) có tâm nằm trên trục hoành và đường tròn (c) tiếp xúc với cả hai đường thẳng (d1):2x-y-1=0 (d2):x-2y+1=0 Trong mặt phẳng Oxy,viết phương trình đường tròn
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A(-1;3) và B(3;1), C(2;-2)
a) Viết phương trình đường trung tuyến CM của tam giác ABC
b) Viết phương trình đường tròn (C) đi qua A, B và có tâm I thuộc đường thẳng (): 3x-y-2=0
c) Viết phương trình đường thẳng (d1), biết (d1) song song với (d2): x-2y-1=0 và (d1) tiếp xúc với (C1): x^2+y^2-6x+4y+8=0
1. viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC biết A(-1,1);B(1,3);C(1,-1)
2. viết phương trình đường tròn có tâm I(-2,3) và đi qua M(2,-3)
3. viết phương trình đường tròn có tâm I nằm trên đường thẳng 4x-2y-8=0 biết đường tròn đó tiếp xúc với trục tọa độ
Bài tập :
B1 Viết phương trình đường tròn (C1) có bán kính R1 = 1 , tiếp xúc với trục Ox và có tâm nằm trên đường thẳng denta : 3x - y +7 = 0
B2 Cho đường tròn (C) : x2 + y2 - 2x - 4y - 4 = 0 và đường thẳng (d) : 3x + 4y +4 = 0 . Chứng minh rằng (d) tiếp xúc với (C)
Cho đường tròn C có phương trình: x2 + y2 – 4x + 8y – 5 = 0
a, Tìm tọa độ tâm và bán kính của (C)
b, Viết phương trình tiếp tuyến với (C) đi qua điểm A(-1; 0)
c, Viết phương trình tiếp tuyến với (C) vuông góc với đường thẳng: 3x – 4y + 5 = 0.
a) x2 + y2 – 4x + 8y – 5 = 0
⇔ (x2 – 4x + 4) + (y2 + 8y + 16) = 25
⇔ (x – 2)2 + (y + 4)2 = 25.
Vậy (C) có tâm I(2 ; –4), bán kính R = 5.
b) Thay tọa độ điểm A vào phương trình đường tròn ta thấy:
(–1 – 2)2 + (0 + 4)2 = 32 + 42 = 52= R2
⇒ A thuộc đường tròn (C)
⇒ tiếp tuyến (d’) cần tìm tiếp xúc với (C) tại A
⇒ (d’) là đường thẳng đi qua A và vuông góc với IA
⇒ (d’) nhận là một vtpt và đi qua A(–1; 0)
⇒ phương trình (d’): 3(x + 1) – 4(y - 0)= 0 hay 3x – 4y + 3 = 0.
c) Gọi tiếp tuyến vuông góc với (d) : 3x – 4y + 5 = 0 cần tìm là (Δ).
(d) có là một vtpt; 1 VTCP là ud→(4; 3)
(Δ) ⊥ (d) ⇒ (Δ) nhận là một vtpt
⇒ (Δ): 4x + 3y + c = 0.
(C) tiếp xúc với (Δ) ⇒ d(I; Δ) = R
Vậy (Δ) : 4x + 3y + 29 = 0 hoặc 4x + 3y – 21 = 0.