Ta có: \(2000=2^4.5^3\).

Suy ra \(n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)⋮125\)

mà \(n,n+1,n+2,n+3\)là bốn số tự nhiên liên tiếp nên có tối đa một số trong bốn số đó chia hết cho \(5\), khi đó số đó cũng phải chia hết cho \(125\). 

Với \(n+3=125\Leftrightarrow n=122\)thử trực tiếp không thỏa.

Với \(n+2=125\Leftrightarrow n=123\)thử trực tiếp không thỏa.

Với \(n+1=125\Leftrightarrow n=124\)thử trực tiếp không thỏa.

Với \(n=125\)thử lại thỏa mãn. 

Vậy \(n=125\)là giá trị cần tìm. 

em cảm ơn ạ

nhưng tại sao số đó cũng phải chia hết cho 125 ạ

dễ thấy để S(n) và S(n+1) đều chia hết cho 1 số thì đuôi của n kết thúc bằng các số 9.

giả sử n có x số 9 cuối(ta tìm x nhỏ nhất)

khi đó n có dạng a 99...9 (x số 9)

=> n+1=b00...0 ( x+1 số 0) với b=a+1

do S(n) ≡ S(n+1) (mod 7) =>  a+9x ≡ b (mod 7) => 9x  ≡ 1 (mod 7) 

=> x=4

=> n=a9999

mà S(n) chia hết cho 7 => a=6 => n=69999 là nhỏ nhất thỏa mãn :D

\(P=n^3+4n^2-20n-48=\left(n+2\right)\left(n-4\right)\left(n+6\right)\)

Với \(n=4\Rightarrow P=0⋮125\)(thỏa)

Với \(n< 4\)thử từng giá trị đều không thỏa. 

Vậy số \(n\)nhỏ nhất cần tìm là \(4\).

    \(n^3+4n^2-20n-48\)

\(=n^3-4n^2+8n^2-32n+12n-48\)

\(=\left(n^3-4n^2\right)+\left(8n^2-32n\right)+\left(12n-48\right)\)

\(=n^2\left(n-4\right)+8n\left(n-4\right)+12\left(n-4\right)\)

\(=\left(n-4\right)\left(n^2+8n+12\right)\)

Nhận thấy n = 4 thì biểu thức trên bằng 0, chia hết cho 125.

Vậy số tự nhiên n nhỏ nhất là bằng 4 (thử với n = 1, 2, 3 đều không chia hết cho 125)

Bạn xem trả lời ở đây nhé

Câu hỏi của Bùi Thị Hoài - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath