https://vi.wikipedia.org/wiki/%C4%90%E1%BB%8Bnh_l%C3%BD_Ceva

Theo định lý Ceva ta có:

\(\frac{SinABM}{SinMBC}.\frac{SinBAD}{SinDAC}.\frac{SinACH}{SinHCB}=1\)

Vì BAD = DAC nên \(\frac{SinACH}{SinHCB}.\frac{SinABM}{SinMBC}=1\)

SinACH = CosA; SinHCB = CosB

=> .\(CosA.\frac{SinABM}{SinCBM}=CosB\) (1)

Diện tích tam giác ABM là: \(\frac{1}{2}SinABM.BM.AB\)

Diện tích tam giác BMC là: \(\frac{1}{2}SinMBC.BM.BC\)

Mà diện tích 2 tam giác này bằng nhau nên \(\frac{SinABM}{SinMBC}=\frac{AB}{BC}\)

(1) => \(CosA\frac{AB}{BC}=CosB\) 

=> AB.CosA = BC.CosB

Ta có: AE = EB 
CD/DB = AC/AB (tính chất đường phân giác) 
AH = AB.cosA, HC = BC.cosC 
Theo định lí Céva ta có: 
AD, BH, CE đồng quy <=> 
AH/HC.CD/DB.BE/EA = 1 
<=> AH/HC.CD/DB = 1 
<=> AB.cosA/(BC.cosC).AC/AB = 1 
<=> (AC.cosA)/(BC.cosC) = 1 
<=> AC.cosA = BC.cosC (đpcm)

P/s: Tham khảo nha

Quy tại đâu ? 

đồng quy tại O nha bn, mình ghi thiếu xin lỗi !

Vẽ EF ⊥⊥ BH.

ΔBAH có EF là đường trung bình

~> EF=1/2 AH

ΔHOC ~ ΔFOE

~> CHEF=OCOECHEF=OCOE

vì AD là tia phân giác EAC^EAC^

~> OCOE=ACAEOCOE=ACAE

~> CHEF=ACAE(1)CHEF=ACAE(1)

Xét:

ΔHABΔHAB : AH=AB.cosA

ΔHBCΔHBC CH=BC.cosC


thay vào (1) : AB.BC.cosC = AC.AB.cosA

~>  BC.cosC = AC.cosA 

4/Gọi hai trung tuyến kẻ từ B, C là BM và CN, chúng cắt nhau tại O
Bây giờ ta sẽ chứng minh rằng : Nếu hai trung tuyến đó vuông góc thì b^2 + c^2 = 5a^2 , từ đó suy ra điều ngược lại (vì mệnh đề này đúng với thuận và đảo)
Gỉa sử BM vuông góc với CN tại O
Ta đặt OM = x => OB = 2x và => OC =2y
AB^2/4 + AC^2/4= NB^2 + MC^2 = ON^2 + OB^2 + OM^2 + OC^2 = 5(x^2 + y^2)
=> AB^2 + AC^2 = 20(x^2 + y^2)
Mà BC^2 = OC^2 + OB^2 = 4(x^2 + y^2)
Suy ra : AB^2 + AC^2 = 5.4(x^2 + y^2) = 5BC^2 hay b^2 + c^2 = 5a^2
 ta có điều ngược lại là nếu b^2 + c^2 = 5a^2 thì hai trung tuyến vuông góc(cái này tự làm ngược nha bn)

5

Vẽ tam giác ABC cân tại A có góc A bằng 36 độ. Và BC=1.Khi đó  góc B = góc C = 72 độ.

Vẽ BD phân giác góc B  , DH vuông góc AB. Đặt AH=BH=x, ta có AB=AC=2x và DC=2x-1

Cm được tam giác ABD và BCD cân => AD=BD=BC=1

cos A = cos 36 = AH/AD=x/1=x

Vì BD là đường phân giác nên AD/DC=AB/AC => \(\frac{1}{2x-1}=\frac{2x}{1}\)

=> \(4x^2-2x-1=0\Leftrightarrow\left(2x-\frac{1}{2}\right)^2-\left(\frac{\sqrt{5}}{2}\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(2x-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{5}}{2}\right)\left(2x-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{5}}{2}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=\frac{\sqrt{5}+1}{4}\left(N\right)\\x=\frac{1-\sqrt{5}}{4}< 0\left(L\right)\end{cases}}\)

Vậy  cos 36o = (1 + √5)/4