Có: ƯCLN(a,b)=d              (1)

=> a chia hết cho d ; b chia hết cho d

=> a+b chia hết cho d

=> ƯCLN(a,a+b)=d             (2)

Từ (1) và (2) => ƯCLN(a,b)=ƯCLN(a,a+b)   (đpcm)

Bó tay.gmail.com.vn

Giả sử UCLN(a;a+b)=c là một số khác 0 và 1

SUy ra:  a chia hết cho c

               a+b chia hết cho c

===) (a+b)-a chia hết cho c hay b chia hết cho c

Vậy a và b có UCLN=c khác 0 và >1 trái với giả thiết UCLN(a,b)=1

Vậy UCLN(a,a+b)=1

Bút danh XXX

  (a,b) =1 
1) gọi p là một ước nguyên tố của ab, vì p nguyên tố, (a,b) nguyên tố cùng nhau nên p là ước của a (không là ước của b) hoặc ngược lại 

=> (a + b) không chia hết cho p (có đúng 1số chia hết cho p, số còn lại ko chia hết nên tổng ko chia hết cho p) 

(a+b) và ab ko có ước chung nguyên tố nào => là 2 số nguyên tố cùng nhau tức là UCLN(a+b,ab) = 1 

2) với (a, b) = 1 ta cm (a, a+b) = 1 
gọi d là ước (khác 1) của a => d không là ước của b (do a, b nguyên tố cùng nhau) => a+b không chia hết cho p (p ko là ước của a+b) 

Đăt c = a+b, theo cm trên ta có (a,c) = 1 
ad câu a ta có (a+c) và ac nguyên tố cùng nhau 
<< a+c = a+a+b = 2a+b; ac = a(a+b)>> 
Vậy 2a+b và a(a+b) nguyên tố cùng nhau

cảm ơn hai bạn nhiều!!!!!

Giả sử \(ƯCLN\left(a+b;a\right)\ne1\)

\(\RightarrowƯCLN\left(a+b;a\right)=d\left(d\inℕ^∗,d\ne1\right)\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a+b⋮d\\a⋮d\end{cases}}\)

\(\Rightarrow b⋮d\)

\(\RightarrowƯCLN\left(a;b\right)=d\)

\(\Rightarrow\)Mâu thuẫn với \(ƯCLN\left(a;b\right)=d\)

\(\Rightarrow\)Điều giả sử là sai 

\(\RightarrowƯCLN\left(a+b;a\right)=1\)

\(\Rightarrowđpcm\)

\(ƯCLN\left(a+b,a\right)=ƯCLN\left(a,b\right)=1\)

u là ước chung của a và b <=> u thuộc Ư(a) và u thuộc Ư(b) 
<=> u thuộc Ư(a) và u thuộc Ư(a+b) <=> u là ước chung của a và a+b 
Suy ra UCLN(a,b) = UCLN(a,a+b) 

Áp dụng kết quả trên : 
(a+b,a-b) = (a+b,a+b+a-b) = (a+b,2a) = (2a,a+b) 
Vì (a,b) = 1 ---> (a,a+b) = 1 nên : 
+ Nếu a+b lẻ ---> (2a,a+b) = 1 
+ Nếu a+b chẵn ---> (2a,a+b) = 2 
Vậy (a+b,a-b) bằng 1 hoặc 2 

tick minh nha