a/ Xét \(\Delta BMD\)ta có:

\(MD=MB\left(gt\right)\)=> \(\Delta BMD\)cân tại M

Mà \(B\widehat{M}D=A\widehat{C}B=60^0\)( 2 góc n.t chắn cung AB)

Nên \(\Delta BMD\)đều

b/ Ta có \(\hept{\begin{cases}A\widehat{B}D+D\widehat{B}C=A\widehat{B}C\\D\widehat{B}C+M\widehat{B}C=D\widehat{B}M\\A\widehat{B}C=D\widehat{B}M\left(=60^0\right)\end{cases}}\)

=> \(A\widehat{B}D=M\widehat{B}C\)

Xét \(\Delta ADB\)và \(\Delta MBC\)ta có :

\(\hept{\begin{cases}BD=BM\left(\Delta MBDđều\right)\\BA=BC\left(\Delta ABCđều\right)\\A\widehat{B}D=M\widehat{B}C\left(cmt\right)\end{cases}}\)

=> \(\Delta ADB=\Delta CMB\)(c-g-c)

=>\(AD=MC\)

Ta có: \(\hept{\begin{cases}AM=AD+MD\\MD=MB\left(\Delta MBDđều\right)\\AD=MC\left(cmt\right)\end{cases}}\)

=>\(AM=MB+MC\)

c/

Ta có: \(AB=AC\)<=>\(\widebat{AB}=\widebat{AC}\)

Xét \(\Delta MAB\)và\(\Delta MHC\)ta có:

\(B\widehat{A}M=H\widehat{C}M\)(2 góc n.t chắn cung MB )

\(A\widehat{M}B=H\widehat{M}C\)(2 góc n.t chắn 2 cung = nhau )

=>\(\Delta MAB\)đồng dạng\(\Delta MCH\)

=>\(\frac{MA}{MC}=\frac{MB}{MH}\)=>\(\frac{MA}{MB.MC}=\frac{1}{MH}\)=>\(\frac{MB+MC}{MB.MC}=\frac{1}{MH}\)=>\(\frac{1}{MB}+\frac{1}{MC}=\frac{1}{MH}\left(đpcm\right)\)

a ) Ta có BM=MD (gt)

=> \(\Delta\)MBD cân tại M

Mặt khác \(\widehat{AMB}=\widehat{ACB}\) ( Hai góc nội tiếp chắn cung AB)

Mà \(\widehat{ACB}=60^0\)( tam giác ABC đều)

Suy ra \(\widehat{AMB}=60^0hay\widehat{DMB}=60^0\)

Vậy \(\Delta MBD\) đều

b) Ta có \(\Delta MBD\) đều ( CMT)

Suy ra : \(\widehat{DMB}=\widehat{DBC}+\widehat{CBM}=60^0\)(1)

Lại có : tam giác ABC đều (gt)

Suy ra : \(\widehat{ABC}=\widehat{ABD}+\widehat{DBC}=60^0\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat{ABD}=\widehat{MBC}\)

Xét hai tam giác ABD và CBM ta có

BC=BA (gt)

\(\widehat{ABD}=\widehat{MBC}\left(cmt\right)\)

BD=BM( tam giác MBD đều)

=> \(\Delta ABD=\Delta CBM\left(c.g.c\right)\)

c)\(\Delta ABD=\Delta CBM\left(cmt\right)\)

SUy ra AD=CM

mà AM=AD+DM

SUy ra MA=MC+MD