\(\frac{a}{b+c+d}=\frac{b}{a+c+d}=\frac{c}{a+b+d}=\frac{d}{b+c+a}\)

\(\Leftrightarrow\frac{b+c+d}{a}=\frac{a+c+d}{b}=\frac{a+b+d}{c}=\frac{b+c+a}{d}\)

\(\Leftrightarrow\frac{b+c+d}{a}+1=\frac{a+c+d}{b}+1=\frac{a+b+d}{c}+1=\frac{b+c+a}{d}+1\)

\(\Leftrightarrow\frac{a+b+c+d}{a}=\frac{a+b+c+d}{b}=\frac{a+b+c+d}{c}=\frac{a+b+c+d}{d}\)

\(\Rightarrow a=b=c=d\)

Xét \(a+b+c+d=0\) ta có : 

\(a+b=-c-d;b+c=-a-d;c+d=-a-b;d+a=-b-c\)

\(\Rightarrow A=\frac{a+b}{-a-b}+\frac{b+c}{-b-c}+\frac{c+d}{-c-d}+\frac{d+a}{-b-c}=-1-1-1-1=-4\)

Xét \(a+b+c+d\ne0\) ta có : \(a=b=c=d\)

\(\Rightarrow M=\frac{a+a}{a+a}+\frac{a+a}{a+a}+\frac{a+a}{a+a}+\frac{a+a}{a+a}=1+1+1+1=4\)

Vào câu hỏi tương tự nhé bạn, tham khảo link này :

https://olm.vn/hoi-dap/detail/94049096720.html

họ bảo ko có đường dẫn

Với \(a+b+c+d=0\)

\(\Rightarrow a+b=-\left(c+d\right);b+c=-\left(d+a\right);c+d=-\left(a+b\right);d+a=-\left(b+c\right)\)

Khi đó \(M=-1-1-1-1=-4\)

Với \(a+b+c+d\ne0\)

Áp dụng dãy tỉ số bằng nhau

\(\frac{2019a+b+c+d}{a}=\frac{a+2019b+c+d}{b}=\frac{a+b+2019c+d}{c}=\frac{a+b+c+2019d}{d}\)

\(=\frac{2022\left(a+b+c+d\right)}{a+b+c+d}=2022\)

\(\Rightarrow a=b=c=d\)

\(\Rightarrow M=4\)

Xem lại đề biểu thức M đi bạn, hình như dấu + chứ không phải dấu = nha

Đặt điều kiện : a, b, c, d khác 0

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có : 

\(\frac{2a+b+c+d}{a}=\frac{a+2b+c+d}{b}=\frac{a+b+2c+d}{c}=\frac{a+b+c+2d}{d}\)

\(=\frac{2a+b+c+d+a+2b+c+d+a+b+2c+d+a+b+c+2d}{a+b+c+d}=\frac{5\left(a+b+c+d\right)}{a+b+c+d}\)

Nếu \(a+b+c+d=0\Rightarrow\hept{\begin{cases}a+b=-\left(c+d\right)\\b+c=-\left(d+a\right)\\c+d=-\left(a+b\right)\end{cases}\Rightarrow d+a=-\left(b+c\right)\Rightarrow M=-4}\)

Và nếu a + b + c + d khác 0 \(\Rightarrow\frac{2a+b+c+d}{a}=5\Rightarrow b+c+d=3a\)

Ta có : \(\hept{\begin{cases}a+b+c=3d\\a+c+d=3b\\a+b+d=3c\end{cases}\Rightarrow a=b=c=d}\)

Khi đó \(M=4\)

Vậy \(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}M=4\\M=-4\end{cases}}\)

bạn ơi hỏi cái, M ở đâu ra vậy.

Nếu a+b+c+d=0 thì ta có

\(\Rightarrow a+b=-\left(c+d\right)\)

\(b+c=-\left(d+a\right)\)

\(c+d=-\left(a+b\right)\)

\(d+a=-\left(b+c\right)\)

Thay vào biểu thức trên ta có:-1+-1+-1+-1=-4

Nếu a+b+c+d khác 0 ta có

\(\frac{2a+b+c+d}{a}=\frac{a+2b+c+d}{b}=\frac{a+b+2c+d}{c}=\frac{a+b+c+2d}{d}=\frac{4\left(a+b+c+d\right)}{a+b+c+d}=4\)

\(\Rightarrow2a+b+c+d=4a\Rightarrow a+b+c+d=3a\)

\(a+2b+c+d=4b\Rightarrow a+b+c+d=3b\)

\(a+b+2c+d=4c\Rightarrow a+b+c+d=3c\)

\(a+b+c+2d=4d\Rightarrow a+b+c+d=3d\)

\(\Rightarrow3a=3b=3c=3d\Leftrightarrow a=b=c=d\)

Thay vào biểu thức trên ta có 1+1+1+1=4

Vậy =-4 hoặc 4

Trừ 1 ở mỗi phân số ta đuợc :

\(\frac{2a+b+c+d}{a}-1=\frac{a+2b+c+d}{b}-1=\frac{a+b+2c+d}{c}-1=\frac{a+b+c+2d}{d}-1\)

\(=\frac{a+b+c+d}{a}=\frac{a+b+c+d}{b}=\frac{a+b+c+d}{c}=\frac{a+b+c+d}{d}\)

Nếu : a+b+c+d\(\ne\)0 

=> a=b=c=d

=> \(M=\frac{a+b}{c+d}+\frac{b+c}{d+a}+\frac{c+d}{a+b}+\frac{d+a}{b+c}=1+1+1+1=4\)

Nếu a+b+c+d=0 

=> +) a+b=-(c+a)

+) b+c=-(d+a)

+) c+d=-(a+b)

+) d+a=-(b+c)

=> M=(-1)+(-1)+(-1)+(-1)=-4

Từ \(\frac{2a+b+c+d}{a}=\frac{a+2b+c+d}{b}=\frac{a+b+2c+d}{c}=\frac{a+b+c+2d}{d}\)

=> \(2+\frac{b+c+d}{a}=2+\frac{a+c+d}{b}=2+\frac{a+b+d}{c}=2+\frac{a+b+c}{d}\)

=> \(\frac{b+c+d}{a}=\frac{a+c+d}{b}=\frac{a+b+d}{c}=\frac{a+b+c}{d}=\frac{\left(b+c+d\right)+\left(a+c+d\right)+\left(a+b+d\right)+\left(a+b+c\right)}{a+b+c+d}=\frac{3\left(a+b+c+d\right)}{a+b+c+d}=3\)

Từ \(3=\frac{b+c+d}{a}=\frac{a+c+d}{b}=\frac{\left(a+b\right)+2\left(c+d\right)}{a+b}=1+2.\frac{c+d}{a+b}\)=> \(\frac{c+d}{a+b}=\frac{3-1}{2}=1\)

Từ \(3=\frac{a+b+d}{c}=\frac{a+b+c}{d}=\frac{2.\left(a+b\right)+\left(c+d\right)}{c+d}=1+2.\frac{a+b}{c+d}\) => \(\frac{a+b}{c+d}=1\)

Từ \(3=\frac{a+b+c}{d}=\frac{b+c+d}{a}=\frac{\left(a+b+c\right)+\left(b+c+d\right)}{d+a}=2.\frac{b+c}{d+a}+1\)=> \(\frac{b+c}{d+a}=1\)

Từ \(3=\frac{a+c+d}{b}=\frac{a+b+d}{c}=\frac{2\left(a+d\right)+\left(b+c\right)}{b+c}=2.\frac{d+a}{b+c}+1\)=> \(\frac{d+a}{b+c}=1\)

Vậy M = 1 + 1+ 1+ 1 = 4

Áp dụng t/c của dãy tỉ số bằng nhau có :

\(\frac{2016a+b+c+d}{a}=\frac{a+2016b+c+d}{b}=\frac{a+b+2016c+d}{c}=\frac{a+b+c+2016d}{d}\)

\(=\frac{2019a+2019b+2019c+2019d}{a+b+c+d}=2019\)

Bn chỉ cần xét a+b+c+d = 0

                        a+b+c+d khác 0

là đc