Chứng minh bổ đề với \(x\inℝ\), ta có:

\(\left|x\right|+x\equiv0\left(mod2\right)\)

Với \(x\ge0\Rightarrow\left|x\right|=x\Rightarrow\left|x\right|+x=x+x=2x\equiv0\left(mod2\right)\)

Với \(x< 0\Rightarrow\left|x\right|=-x\Rightarrow\left|x\right|+x=-x+x=0\equiv0\left(mod2\right)\)

Áp dụng vào ta được:

\(\left\{{}\begin{matrix}\left|a-b\right|+a-b\equiv0\left(mod2\right)\\\left|b-c\right|+b-c\equiv0\left(mod2\right)\\\left|c-d\right|+c-d\equiv0\left(mod2\right)\\\left|d-a\right|+d-a\equiv0\left(mod2\right)\end{matrix}\right.\Rightarrow\left|a-b\right|+\left|b-c\right|+\left|c-d\right|+\left|d-a\right|\equiv0\left(mod2\right)\)

Mà đề ra \(2015\equiv1\left(mod2\right)\)

\(\Rightarrow\)Vô lý

\(\Rightarrow\)Không có \(a,b,c,d\) thoả mãn đề bài.

Áp dụng t/c dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\frac{a+b+c}{d}\)=\(\frac{b+c+d}{a}\)\(\frac{c+d+a}{b}\)\(\frac{d+a+b}{c}\)=\(\frac{a+b+c+b+c+d+c+d+a+d+a+b}{d+a+b+c}\)=\(\frac{3a+3b+3c+3d}{a+b+c+d}\)=\(\frac{3\left(a+b+c+d\right)}{a+b+c+d}\)= 3

Vậy k=3

Cộng thêm 1 vào mỗi đẳng thức, ta được :

\(\frac{a}{b+c+d}+1=\frac{b}{a+c+d}+1=\frac{c}{a+b+d}+1=\frac{d}{a+b+c}+1\)

\(\frac{a+b+c+d}{b+c+d}=\frac{a+b+c+d}{a+c+d}=\frac{a+b+c+d}{a+b+d}=\frac{a+b+c+d}{a+b+c}\)

Vì các tử số của mỗi tỉ số bằng nhau suy ra các mẫu số của mỗi tỉ số bằng nhau

\(\Rightarrow b+c+d=a+c+d=a+b+d=a+b+c\)

\(\Rightarrow a=b=c=d\)

\(A=\frac{a+b}{c+d}+\frac{b+c}{a+d}+\frac{a+d}{a+b}+\frac{d+a}{c+d}\)

\(A=1+1+1+1=4\)

Điều kiện: a;b;c;d∈|N∗a;b;c;d∈|N∗

Ta có: ab=53=>b=35aab=53=>b=35a                                                 (1)

             bc=1221=>c=2112b=74b=74.35a=2120abc=1221=>c=2112b=74b=74.35a=2120a      (2)

             cd=611=>d=116c=116.2120a=7740acd=611=>d=116c=116.2120a=7740a             (3)

Theo yêu cầu đề, ta chọn a = 40

Từ (1), (2), (3) suy ra ⎧⎩⎨bcd=24=42=77{b=24c=42d=77

Vậy 4 số tự nhiên nhỏ nhất cần tìm là: 40; 24; 42; 77

ab = 53 ??????????????