Gọi I là giao của AC và BD

Ta sẽ chứng minh MN cũng đi qua I

Ta có: AB // CD => \(\frac{AI}{IC}=\frac{BI}{ID}=\frac{AB}{DC}=\frac{\frac{2}{3}AB}{\frac{2}{3}DC}=\frac{AM}{NC}\)

Xét 2 tam giác: AMI và CNI có:

\(\hept{\begin{cases}\frac{AM}{NC}=\frac{AI}{IC}\left(cmt\right)\\\widehat{MAI}=\widehat{NCI}\left(soletrong\right)\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\widehat{AIM}=\widehat{NIC}\Rightarrow\overline{M,I,N}\) => đpcm

Gọi K là giao điểm của AD và BC

F là giao điểm của KM và DC

Có \(AM=2MB\Rightarrow AM=\dfrac{2}{3}AB\)

Do AB//DC. Áp dụng định lý Thales có:

\(\dfrac{AM}{DF}=\dfrac{KM}{KF}\)

\(\dfrac{MB}{FC}=\dfrac{KM}{KF}\)

\(\Rightarrow\dfrac{AM}{DF}=\dfrac{MB}{FC}\)

ADTCDTSBN có: \(\dfrac{AM}{DF}=\dfrac{MB}{FC}=\dfrac{AM+MB}{DF+FC}=\dfrac{AB}{DC}\)

Do đó \(\dfrac{AM}{DF}=\dfrac{AB}{DC}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\dfrac{2}{3}AB}{DF}=\dfrac{AB}{DC}\Leftrightarrow\dfrac{2AB}{3DF}=\dfrac{AB}{DC}\Leftrightarrow DF=\dfrac{2}{3}DC\) (1)

mà \(DN=2NC\Rightarrow DN=\dfrac{2}{3}DC\) (2)

Do \(N;F\in DC\).Từ (1) và (2) \(\Rightarrow N\equiv F\)

\(\Rightarrow\) K;M;N thẳng hàng

\(\Rightarrow AD;BC;MN\) đồng quy tại K

Tham khảo bài này nha!

Hình thang ABCD (AB//CD) có AC va BD cắt nhau tại O , AD và BC cắt nhau tại K . Chứng minh rằng OK đi qua trun?

 Tứ giác ABCD là hình thang nên:AB//CD. 
Gọi M, N lần lượt là giao điểm của KO với AB,CD. 
Áp dụng định lý talet ta có: 
AM/DN=MB/NC(=KM/KN) 
=(AM+MB)/(CN+ND) (t/c dãy tỉ số bằng nhau) =AB/DC. 
=AO/OC=AM/NC. 
Vậy AM/DN=AM/NC hay DN=NC. 
tương tự MB=MA. 
hay ta có OK đi qua trung điểm của AB và CD.

:  Tứ giác ABCD là hình thang nên:AB//CD. 
Gọi M, N lần lượt là giao điểm của KO với AB,CD. 
Áp dụng định lý talet ta có: 
AM/DN=MB/NC(=KM/KN) 
=(AM+MB)/(CN+ND) (t/c dãy tỉ số bằng nhau) =AB/DC. 
=AO/OC=AM/NC. 
Vậy AM/DN=AM/NC hay DN=NC. 
tương tự MB=MA. 
 ta có OK đi qua trung điểm của AB và CD.